Запишем разложения: и , а после этого, вычтем из первого разложения второго:
.
Положим в этой формуле . Тогда: и, следовательно:
Þ
Þ . И, очевидно, .
Оценка сверху для дает следующее: = =
= = = = .
Из оценок для , получаем: и, потенцируя:
. (*)
Теперь рассмотрим последовательность: .
.
учитывая (*), получаем: .
Таким образом: и .
Последовательность возрастающая и ограничена сверху . Значит и
Þ Þ , т.е. Þ
.
Для нахождения величины a воспользуемся формулой Валлиса:
.
= = = = ….
Подставляя вместо , полученное для него выражение, получаем .
Тогда: . Это и есть формула Стирлинга.
РАЗДЕЛ 7. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.