Наименование занятия: Нахождение точек перегиба и направлений выпуклости, асимптот графика функции
Цель занятия: Научиться исследовать функции на выпуклость, вогнутость, находить асимптоты графика функции
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»
Литература:
- Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
1. Исследовать функции на выпуклость, вогнутость. Найти точки перегиба.
1)
2)
3)
4)
5)
2. Найти асимптоты графиков функций:
1)
2)
3)
Порядок проведения занятия:
- Получить допуск к работе
- Выполнить задания
- Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
- Наименование, цель занятия, задание;
- Выполненное задание;
- Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
- Дайте определение выпуклой, вогнутой функции.
- Как исследовать функцию выпуклость, вогнутость?
- Что называется асимптотами графика функции?
- Какие виды асимптот вы знаете? Как они находятся?
ПРИЛОЖЕНИЕ
График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.
Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. Если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.
Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Теорема (достаточное условие существования точки перегиба) Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x0 f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x0 является точкой перегиба.
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты. Если , , или , то прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x). Вертикальные асимптоты обычно сопровождают точки разрыва второго рода и если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты. Наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b. Для точного определения этой прямой необходимо найти коэффициенты k и b. Они находятся следующим образом: ,
Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к. в этих точках функция имеет разрыв 2-го рода.
Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет. Найдем , т.е. y = 0 – горизонтальная асимптота.