Позиционный принцип в системах счисления

Наиболее распространенными и совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы, в которых значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других чисел, изображающих число. Они обладают большим преимуществом наглядности и простотой выполнения арифметических операций.

Базис системы счисления – это последовательность так называемых ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту».

Примеры:

Пример 3.

Базис десятичной системы счисления: …, 10ⁿ, …, 10000, 1000, 100, 10, 1.

Пример 4.

Базис двоичной системы счисления: …, 2ⁿ, …, 16, 8, 4, 2, 1.

Пример 5.

Базис восьмеричной системы счисления: …, 8ⁿ, …, 64, 8, 1.

Более общий случай: … q_n=qⁿ, …, q₃=q³, q₂=q², q₁=q¹=q, q₀=q⁰=1.

Число q называют основанием системы. Основанием системы является число, означающее количество символов, используемых в системе счисления. Это любое целое число не равное единице.

В десятичной системе счисления десять символов (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

В двоичной системе счисления два символа (цифры): 0,1;

Системы счисления, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления называются системы со степенными весами разрядов. Каждое число в таких системах может быть записано в цифровой и многочленной форме:

_____________

A_(q) = a_n-1 a_n-2 … a₂ a₁ a₀, a_-1 …a_-m - цифровая форма записи;

A_(q) = a_n-1×q^n-1 + a_n-2×q^n-2 + … + a₂×q² + a₁×q¹ + a₀×q⁰ + a_-1×q^-1 …+ a_-m×q^-m -многочленная форма записи (полином разложения).

Где A_(q) - запись числа в системе счисления с основанием q;

q - основание системы счисления;

a – символы из алфавита системы счисления, целые числа меньше q;

n - число разрядов (позиций) в целой части числа;

m - число разрядов в дробной части числа.

Цифровую форму записи еще называют условно сокращенной формой записи числа в позиционной системе счисления, т.е. кодом числа.

Примеры:

Пример 6.

Десятичная система счисления:

256,25 - цифровая форма записи (код числа);

2 ×10² + 5 ×10¹ + 6 ×10⁰ + 2 ×10^-1 + 5 ×10^-2 - многочленная форма записи.

Пример 7.

Двоичная система счисления:

1101,01 - код числа (цифровая форма записи);

1 ×2³ + 1 ×2² + 0 ×2¹ + 1 ×2⁰ + 0 ×2^-1 + 1 ×2^-2 - многочленная форма записи.

В вычислительной технике при обработке информации применяют системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, т.е. систему счисления с основанием q = 2^k, где к = 1, 3, 4.

Если десятичное число записать в двоичном виде, то оно в 3,3 раза больше содержит цифр, тем не менее именно двоичная форма записи используется в компьютере непосредственно для проведения различных вычислений.

Любой элемент, имеющий два устойчивых состояния, может использоваться для запоминания информации в компьютера.

Арифметические действия над одноразрядными двоичными числами выполняются по следующим правилам:

0 + 0 = 0 0 х 0 = 0

0 + 1 = 1 1 х 0 = 0

1 + 0 = 1 0 х 1 = 0

1 + 1 = 10 1 х 1 = 1

Дальше мы будем рассматривать позиционные системы счисления со степенными весами разрядов, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления.

Любое число в такой системе счисления может быть представлено в виде полинома разложения:

(1.1)

где: q – основание системы счисления,

n – количество цифр целой части числа,

m – количество цифр дробно части числа

Произвольное число с помощью этой формулы можно представить в виде разложения по степеням.

12,625₍₁₀₎ = 1×10¹ +2×10⁰ +6×10^-1 +2×10^-2 +5×10^-3

Это же число с помощью этой формулы можно представить в виде разложения по степеням двойки.

12,625₍₁₀₎ = 1×2³ + 1×2² +0×2¹ +0×2⁰ +1×2^-1 +0×2^-2 +1×2^-3 = 1101,101₍₂₎

В восьмеричной системе счисления алфавит состоит из восьми символов (цифр): 0, 1, … 7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьмеричной системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться условно сокращенной записью.

Например, десятичное число 28₍₁₀₎ = 3×8¹ +4×8^{0 =} 34₍₈₎

Шестнадцатеричная система. В этой системе алфавит включает в себя шестнадцать символов (цифр и букв): 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F.

Например, число 75₍₁₀₎ = 4×16¹ + В×16⁰ = 4В₍₁₆₎

Наряду с двоичными кодами компьютере для ввода и вывода десятичных чисел используют специальное двоично-десятичное кодирование. При этом кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются в порядке следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, отделяющей дробную и целую часть числа, которые затем заменяются десятичными цифрами.

Например, число 15,49₍₁₀₎ = 0001 0101,0100 1001_(2-10)

Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевода числа в новую систему счисления, а мы фактически имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления.