Общее правило
Общее правило
перевода целых чисел из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q:
1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления;
2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя;
3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствии с алфавитом новой системы счисления;
4) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка.
Здесь и далее под исходной подразумевается система счисления с основанием p, под новой – с основанием q.
перевода правильной дроби: из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q:
1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления;
2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или пока не будет достигнута требуемая точность представления числа;
3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствии с алфавитом новой системы счисления;
4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.
Двоичная система счисления имеет основание 2 и две цифры: 0 и 1.
Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и восемь цифр: 0, 1,…, 7.
Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и шестнадцать цифр: 0, 1,…, 9, А, B, C, D, E, F. При этом знак «А» является 16-ой цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; В16=1110; С16=1210; D16=1310; Е16=1410; F16=1510. Другими словами в данном случае А..F – это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).
Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущих разделах, можно заполнить таблицу 2.
Примем без доказательства две теоремы.
Теорема 1. Для преобразования целого числа Аp®Аq в том случае, если основания систем счисления связаны соотношением q=pr, где r – целое число большее 1, достаточно Ар разбить справа налево на группы по r цифр и каждую из них независимо перевести в систему q. (При необходимости исходное число следует дополнить незначащими нулями слева до группы в r цифр.)
Пример 9.
Выполнить преобразование 1100012®А8.
Решение.
Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8=23, следовательно, r=3) и каждая тройка в соответствии с таблицей 2 переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:
110001
6 1
Следовательно, 1100012=618. Аналогично, разбивая А2 на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим 1100012=3116.
Таблица 2.
Представление чисел в системах счисления | |||
10-ная | 2-ная | 8-ричная | 16-ричная |
A | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F |
Теорема 2. Для преобразования целого числа Аp®Аq в том случае, если системы счисления связаны соотношением p=qr, где r – целое число большее 1, достаточно каждую цифру Ар заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q.
Пример 10.
Выполнить преобразование D316® А2.
Решение.
D316=110100112
D 3
Переходы А8®А16 и А16®А8, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например, 1238=0010100112=5316.