Настройка системы управления на фильтр Баттерворта, или на модульный (технический, амплитудный) оптимум заключается в выполнении следующих требований к форме амплитудной частотной характеристики замкнутой системы:
· АЧХ в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равной единице;
· наклонный участок характеристики должен быть как можно более крутопадающим.
Тогда при отсутствии помехи на входе, система будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие и подавлять возмущение .
Другими словами, критерий модульного оптимума (МО) требует, чтобы настраиваемая система приближалась по свои частотным характеристикам к идеальному фильтру низких частот, имеющему прямоугольную форму.
Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет фильтр Баттерворта, у которого АЧХ имеет вид:
(38)
На практике обычно используют фильтры с порядком .
Нетрудно убедиться, что частным случаем фильтра Баттерворта является колебательное звено к коэффициентом демпфирования :
|
|
(39)
При настройке систем порядка (п > 2) по критерию МО передаточную функцию замкнутой системы по каналу задания приводят к нормированному виду:
, (40)
где - оператор Лапласа, соответствующий относительному времени ; - коэффициент масштабирования, который определяется по формуле:
(41)
Нетрудно понять, что .
То есть в фильтре Баттерворта степенью быстродействия является или , или . Время переходного процесса в системах, настроенных на фильтр Баттерворта определяется как:
(42)
Коэффициенты нормированного полинома (40) определяются по формулам:
(43)
(43)
Чтобы обеспечить желаемую форму АЧХ, близкую к прямоугольной форме, коэффициенты выбирают в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта
1,40 | |||||||
2,00 | 2,00 | ||||||
2,61 | 3,41 | 2,61 | |||||
3,24 | 5,24 | 5,24 | 3,24 | ||||
3,86 | 7,46 | 9,13 | 7,46 | 3,86 | |||
4,50 | 10,10 | 14,60 | 14,60 | 10,10 | 4,50 | ||
5,12 | 13,10 | 31,80 | 25,70 | 21,80 | 13,10 | 5,12 |
и .
ПРИМЕР
Дано:
Определить
РЕШЕНИЕ