Стандартное отклонение

Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение) – вторая по значению константа вариаци­онного ряда. Она является мерой разнообразия входящих в груп­пу объектов и показывает, на сколько в среднем отклоняются варианты от средней арифметической изучаемой совокупности. Чем сильнее раз­бросаны варианты вокруг средней, чем чаще встречаются край­ние или другие отдаленные классы отклонений от средней ва­риационного ряда, тем большим оказывается и среднее квад­ратичное отклонение. Стандартное отклонение есть мера изменчивости признаков, обусловлен­ная влиянием на них случайных факторов. Квадрат стандартного отклонения (S ²) называется дисперсией.

Что такое «случайное» при детальном рассмотрении? В формуле модели вариант случайный компонент предстает в виде некой «добавки» к доле варианты, сформированной под действием систематических факторов, ± x_{случ .}. Она, в свою очередь, складывается из эффектов влияния неопределенно большого числа факторов: x_{случ .} = Σ x_случ.k.

Каждый из этих факторов может обнаружить свое сильное действие (дать большой вклад), а может почти не участвовать в становлении конкретной варианты (слабое действие, незначительный вклад). Причем доля случайной «прибавки» для каждой варианты оказывается различной! Рассматривая, например, размеры дафний, можно увидеть, что одна особь крупнее, другая мельче, поскольку одна родилась на несколько часов раньше, другая позже, или одна генетически не вполне идентична прочим, а третья росла в более прогреваемой зоне аквариума и т. д.

Если эти частные факторы не входят в число контролируемых при сборе вариант, то они, индивидуально проявляясь в разной степени, обеспечивают случайное варьирование вариант. Чем больше случайных факторов, чем они сильнее, тем дальше будут раз­бросаны варианты вокруг средней и тем большим оказывается характеристика варьирования, среднее квад­ратичное отклонение. В контексте нашей книги термин «случайное» есть синоним слова «неизвестное», «неподконтрольное». Пока мы каким-либо способом не выразим интенсивность фактора (группировкой, градацией, числом), до тех пор он останется фактором, вызывающим случайную изменчивость.

Смысл стандартного отклонения (вариант от средней) выражает формула:

,

где x – значение признака у каждого объекта в группе,

М – средняя арифметическая признака,

п – число вари­ант выборки.

Выполнять расчеты удобнее с помощью рабочей формулы:

,

где Σ x ² – сумма квадратов значений признака для всех вариант,

Σ x – сумма значений признака,

n – объем вы­борки.

Для примера с массой тела бурозубок стандартное отклонение будет равно: S = 0.897216496, а после необходимого округления S = 0.897 г.

В некоторых случаях бывает необходимо определить взвешенное сред­нее квадратичное отклонение для суммарного распределения, составленного из нескольких выборок, для которых значения стандартных отклонений уже известны. Эта задача решается с помощью формулы:

,

где S _Σ – усредненная величина среднего квадратичного откло­нения для суммарного распределения,

S ­­– усредняемые значе­ния стандартного отклонения,

п – объемы отдельных выборок,

k – число усредняе­мых стандартных отклонений.

Рассмотрим такой пример. Четыре независимых определе­ния веса печени (мг) у землероек-бурозубок в июне, июле, ав­густе и сентябре дали следующие величины стандартных отклонений: 93, 83, 50, 71 (при n = 17, 115, 132, 140). Подставив в вышеприведенную фор­мулу нужные значения, получим стандартные отклонения для суммарной выбор­ки (для всего бесснежного периода):

= 69.9.

В случае, если требуется первичная статистическая обработка большого числа выборок, но необязательно с большой точностью, для оценки стандартного отклонения можно воспользоваться экспресс-методом, основанным на знании закона нормального распределения. Как уже отмечалось, крайние значения для выборки (с вероятностью P = 95%) можно считать границами, удаленными от средней на расстояние 2 S: x _min = M − 2 S, x _max = M + 2 S. Это значит, что в лимите (Lim), в диапазоне от максимального до минимального выборочного значения, укладываются четыре стандартных отклонения:

Lim = (M + 2 S) − (M − 2 S) = 4 S.

Однако этот вывод справедлив только по отношению к выборкам большого размера, тогда как для небольших выборок необходимо делать поправки. Рекомендуется следующая формула приблизительного расчета стандартного отклонения (Ашмарин и др., 1975):

,

где величина d взята из таблицы 3 (против соответствую­щего объема выборки, n).

Таблица 3

Выборочное стандартное отклонение веса тела бурозубок (n = 63), рассчитанное по приведенной формуле, составляет:

S = (11.9 − 7.3) / 4 = 1.15 г,

что достаточно близко к точному значению, S = 0.89 г.

Использование экспресс-оценок стандартного отклонения значительно сокращает время расчетов, существенно не сказываясь на их точности. Отмечается лишь небольшая тенденция к завышению получаемых этим методом значений стандартного отклонения при небольших объемах выборок.

Стандартное отклонение – величина именованная, поэтому с ее помощью можно сравнивать характер варьирования лишь одних и тех же признаков. Чтобы сопоставить изменчивость разнородных признаков, выраженных в различных единицах измерения, а также нивелировать влияние мас­штаба измерений, используют так называемый коэффициент вариации (СV), безразмерную величину, отношение выборочной оценки S к собственной средней M:

.

В нашем примере с весом тела бурозубок:

9.6%.

Индивидуальная изменчивость (варьирование) признаков – одна из наиболее емких характеристик биологи­ческой популяции, любого биологического процесса или явле­ния. Коэффициент вариации может считаться вполне адекватным и объективным показателем, хорошо отражающим фактическое разнообразие совокупности независимо от абсолютной величины признака. Индекс был создан для унификации показа­телей изменчивости разных или разноразмерных признаков пу­тем приведения их к одному масштабу.

Практика показывает, что для многих биологических признаков наблюдается увеличение изменчивости (стандартного отклонения) с ростом их величины (средней арифметической). При этом коэффициент вариации остается примерно на одном и том же уровне – 8–15%. За увеличение коэффициента вариации ответственны, как правило, растущие отличия распределения признака от нормального закона.