Самый простой вид аппроксимации - ступенчатая. Она заключается в представлении (замене) гармонического колебания напряжением ступенчатой формы, весьма мало отличающейся от синусоидальной кривой (рисунок 5.4.2,а).
Рисунок 5.4.2 Цифровой генератор низких частот:
а – ступенчатая аппроксимация, б – упрощенная структурная схема
Поясним суть ступенчатой аппроксимации сигналов. Аппроксимируемое гармоническое напряжение u(t)=Umsinωt дискретизируется по времени с равномерным шагом ∆t. В интервале, разделяющем два соседних момента времени t i и t i +1, синусоидальное колебание заменяется напряжением постоянного тока — ступенькой, высота которой равна значению аппроксимируемого напряжения в момент ti, т.е. u(t i) = Umsinωt i. В результате такой замены, вместо кривой синусоидальной формы получается ступенчатая линия, изображенная на рисунке 5.4.2, а.
При имеющемся периоде Т гармонического колебания число ступенек р, приходящихся на один период, определяется шагом дискретизации: р=Т/Δt. Если же из технических соображений число ступенек задано, то изменение шага дискретизации приводит к изменению периода формируемого напряжения, поскольку р=Т/Δt.
|
|
Учитывая, что t i = i´Δt, уравнение ступенчатой кривой можно представить в виде
u(i Δt) = Umsin(ωiΔt)
или с учетом значения р и соотношения ω=2π в виде:
u(i Δt)=Umsin(i2π/p).
Чем больше выбрано число ступеней р, тем точнее ступенчатая кривая приближается к синусоидальной форме (уменьшается погрешность аппроксимации). Когда это число достаточно велико, сформированное ступенчатое напряжение можно рассматривать как низкочастотное синусоидальное напряжение, искаженное в небольшой степени высокочастотной аддитивной помехой.
Спектральный анализ напряжения, полученного путем ступенчатой аппроксимации, выявляет, что его спектр содержит гармонику основной частоты. Разложение в ряд Фурье показывает, что ближайшей высшей гармоникой будет составляющая с номером p-1, следующей — гармоника номера p+1, затем гармоники номеров 2р-1 и 2р+1 и т. д.
Например, при р = 25 и частоте напряжения f основной гармоники ближайшими высшими гармониками будут 24-я, 26-я и 49-я, 51-я гармоники, т. е. напряжения частот 24f, 26f, 49f, 51f.
Такие соотношения между основной и высшими гармониками позволяют просто осуществить высококачественную фильтрацию, резко ослабляющую высшие гармоники, и получить синусоидальное напряжение, характеризуемое очень малым коэффициентом нелинейных искажений (коэффициентом гармоник).
Упрощенная структурная схема цифрового генератора, формирующего ступенчатую кривую, приведена на рисунке 5.4.2, б.
|
|
Импульсный кварцевый генератор вырабатывает периодическую последовательность коротких импульсов с периодом следования Т.
На выходе делителя частоты с регулируемым коэффициентом деления g получается последовательность импульсов с периодом следования Δt=gT, задающим шаг дискретизации.
Импульсы поступают в счетчик емкостью р. Кодовая комбинация, определяемая числом i импульсов, накопленных в счетчике, передастся в схему ЦАП.
Цифро-аналоговый преобразователь вырабатывает напряжение, соответствующее числу i, т.е. u(iΔt)=Umsin(i2π/p). Таким образом формируются р ступенек аппроксимируемой кривой. После накопления р импульсов счетчик переполняется и сбрасывается в нуль. С приходом (р+1)-го импульса начинается формирование нового периода ступенчатой кривой.
Частоту формируемого колебания при фиксированном числе ступенек р регулируют, изменяя шаг дискретизации Δt, что достигается изменением коэффициента деления g делителя частоты.