Замечание

Если функция с периодом на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (5), где коэффициенты вычисляются по формулам

Пример 1: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2p:

f (x) =

Решение:

Из определения f (x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, поэтому f (x) разлагается в ряд Фурье (см. рис. 1).

Рис. 1.

По формулам (2)-(4) находим коэффициенты Фурье:

= = = = а/p.

а_n = = = = ,

b_n = = = – = – + = .

Следовательно,

f (x) = .

На интервале ряд сходится к функции f (x), в точках х = ± p к 0:

,

в точках разрыва х = a, x = 0 к 1/2:

,

.