Задача К 2.10

Чугунный короткий стержень Т-образного сечения (рис. 31) сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А. Опреде­лить допускаемую силу из условия прочности на сжатие и на растя­жение. Определить положение нейтральной линии, построить эпюру «s».

Исходные данные: [s_с] =130 МПа; [s_р] =30 МПа; а =6 см; b =4 см.

Решение

Это сечение произвольной формы. Для того, чтобы решить за­дачу необходимо знать положение главных центральных осой, коор­ди­наты точки А в главных центральных осях, главные центральные моменты инерции. Вычерчиваем сечение в масштабе (рис. 32). Для упрощения вычислений все размеры указы­ваем в сантиметрах и вы­числения также производим в сантиметрах.

Сечение разделяем на две части. Проводим вспомога­тельные оси Х₀, У₀. Определяем координаты центров тяжести и площади составляю­щих частей и всего сечения. Т.к. ось Х₀ яв­ляется для них осью сим­мет­рии, то координаты центров тяжести будут лежать на этой оси. Поэтому координаты у_с не определяем.

Часть 1: х₁ = 3 см, F₁ = 6´15 = 90 см².

Часть 2: х₂ = 6 + 12/2 = 12 см, F₂ = 12´4 = 48 см².

Сечение: F = F₁ + F₂ = 90 + 48 = 138 см² = 138×10^{- 4} м².

см.

Указываем положение центра тяжести на чертеже. Определяем коор­динаты точки приложения силы Р (точки А) относительно главных центральных осей.

х_р = 6 + 12 – х_с = 6 + 21 – 6,1 = 11,9 см,

у_р = 4/2 = 2 см.

Определяем N, М_х, М_у

N = - Р; М_х = Р × у_р = 2 Р Нсм = 2×10^{- 2} Р Нм;

М_у = Р × х_р = 11,9 Р Нсм = 11,9×10^{- 2} Р Нм.

Определяем главные центральные моменты

см⁴ =

= 1751×10^-8 м⁴;

,

где

см⁴; b₁ = x₁ – x_с = 3 – 6,1 = - 3,1 см;

см⁴; b₂ = x₂ – x_с = 3 – 6,1 = 5,9 см.

Тогда

I_у = 270 + (-3,1)²×90 + 576 + (-5,9)²×48 = 3382 см⁴ = 3382×10^-8 м⁴.

Для определения положения опасных точек найдем положения нейтральной линии. Находим отрезки а и b. Так как точка приложе­ния силы Р находится в первой четверти, то N, М_х, М_у в этой четверти будут давать сжимающие напряжения. Поэтому N, М_х, М_у в формулы для определения отрезков а и b подставляем со знаком минус.

м = -2,06 см.

м = - 6,34 см.

Откладываем с учетом знака отрезок а на оси Х_с, отрезок b на оси У_с (рис. 33). Через концы отрезков проводим нейтральную ли­нию. Проводим касатель­ные к сечению параллель­ные нейтральной линии. Точки касания В и А будут опасными, точка В по рас­тягиваю­щим напряже­ниям, точка А по сжимаю­щим. Их координаты легко определяются из чертежа (координаты берем по аб­солютной вели­чине).

Точка В: Х_В = 6,1 см, У_В = 7,5 см.

Точка А: Х_А = 11,9 см, У_А = 2 см.

Определяем допус­каемое значение силы Р:

А) Из условия прочно­сти по растягивающим на­пряжениям (точка В).

Условие прочности:

.

Подставляя выражения для N, М_х, М_у получим

.

Отсюда

Б)Из условия прочности по сжимающим напряжениям (точка А).

Условие прочности:

.

Подставляя выражения для N, М_х, М_у получим

За ответ берем меньшее значение [ Р ] = 131,6 кН, полученное из усло­вия прочности по растягивающимся напряжениям.

Строим эпюру «s»

Для этого вычисляем напряжения в точках А и В.

Точка А:

Точка В: s_В = [s_р] = 30 МПа, т.к. [ Р ] получена из условия проч­ности в этой точке.

Для получения эпюры «s» (рис. 33) проводим базовую линию перпендикулярную н.л. В точках пересечения базовой линии с каса­тельными откладываем перпендикулярно базовой линии отрезки, со­ответствующие s_А и s_В в выбранной масштабе, с учетом знаков. Концы отрезков соединяем прямой линией.