Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция , для которой в некоторой точке выполнено неравенство

Тогда в некоторой окрестности точки уравнение

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию , заданную вблизи точки в .

Пусть требуется найти её частные производные , . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

которая тождественно равна 0 в окрестности точки ; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции , переменную , где , получаем по формуле :

(производные равны 0 при , ), то есть

откуда

или

(7.9)

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции , не имея задающего её явного выражения.

Пример Пусть функция задана неявно уравнением

в окрестности точки (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные и . Поскольку для функции

частные производные равны

(и

так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем:

Подставляя координаты точки (1;2;1), находим: