Полосовой фильтр Баттеруорта /12/

Как известно, полосовой фильтр можно получить непосредственной комбинацией низкочастотного и высокочастотного фильтра при перекрытии полосы пропускания фильтров. Аналогичный эффект достигается и частотным преобразованием ФНЧ, которое в этом случае имеет вид:

p = s+1/s. (10.3.1)

Подставив в (10.3.1) значения p = jW и s = jw, получим:

W = [w²-1]/w,

w²-Ww-1 = 0. (10.3.2)

Корни уравнения (10.3.2):

(w)_1,2 = W/2 . (10.3.3)

Расщепление спектра. При W=0 имеем w = 1, т.е. центр полосы пропускания ФНЧ (от -W_c до +W_c) расщепляется на два (как и положено, для полосовых фильтров) и смещается в точки w = 1. Подставив в (10.3.3) граничную частоту W_с=1 нормированного ФНЧ, определяем граничные частоты нормированного полосового фильтра в виде пары сопряженных частот:

w₁ = 0.618, w₂ = 1.618

Рис. 10.3.1. Расщепление полосы.

Сущность произведенного преобразования наглядно видна на рис. 10.3.1. Ширина полосы пропускания нормированного ПФ равна 1.

Полученное преобразование можно распространить на полосовой фильтр с ненормированными частотами w_н и w_в.

Введем понятие геометрической средней частоты фильтра w_о:

w_о= . (10.3.4)

Ширина полосы пропускания ПФ связана (см. рис.10.3.1) с граничной частотой ФНЧ соотношением:

Dw = w_в-w_н = w_с = w_н.

В долях средней геометрической частоты:

W_н = (w_в-w_н)/w_о = W_c. (10.3.5)

Заменяя в (10.3.4-10.3.5) значение w_в на произвольную частоту w и подставляя в (10.3.5) значение ω_н = ω·ω_о² из (10.3.4), получаем произвольную частоту W:

W = (w-w_н)/w_о = w/w_o-w_o/w. (10.3.6)

Отсюда, в выражении (10.1.1) вместо нормированной частоты W = w/w_с можно применить функцию частоты полосового фильтра w(w):

w(w) = (w²-w_о²)/[w(w_в-w_н)],

или, подставляя (10.3.4) вместо ω_о:

w(w) = (w²-w_нw_в)/[w(w_в-w_н)]. (10.3.7)

Тем самым передаточная функция ФНЧ выражается в единицах, которые позволяют после применения преобразования (10.3.1) использовать для задания необходимые граничные частоты w_н и w_в полосового фильтра.