Покажем сначала, что формула имеет смысл, т.е.что . (От противного). Пусть , тогда, по теореме Ролля, , что противоречит третьему условию: для всех х из . Следовательно, .
Для доказательства введем в рассмотрение на отрезке следующую вспомогательную функцию: .
1) F (x) непрерывна на отрезке , как разность двух непрерывных функций f (x) и ;
2) F (x) дифференцируема на интервале : ;
3) F (а) = F (b), так как
и .
Следовательно, из 1) – 3) следует, что функция F (x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, тогда, по теореме Ролля, , т.е.
, отсюда . Что и требовалось доказать.