НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Составители: Ю.Б. Егорова
И.М. Мамонов
МОСКВА2009
Егорова Ю.Б., Мамонов И.М. Непрерывные случайные величины:Методические указания к практическим занятиямпо дисциплине «Высшая математика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2009. 12 с.
ÓЕгорова Ю.Б.,
Мамонов И.М.,
составление, 2009
Ó МАТИ, 2009
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601, 160301, 220301, 230102. Методические указания служат основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1. Непрерывная случайная величина – величина, которая может принимать любое значение из некоторого промежутка числовой оси (конечного или бесконечного). Примеры непрерывных случайных величин: дальность полета артиллерийского снаряда, расход электроэнергии за определенный промежуток времени, температура тела или воздуха, вес изделия, рост человека и т.п.
|
|
1.2. Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать двумя аналитическими способами:
1) с помощью функции распределения вероятностей F(x);
2) с помощью плотности распределения вероятностей f(х).
1.3.Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного х, т.е. F(x)=P(X<x).
Свойства F(x):
1. Функция F(x) есть неубывающая и непрерывная функция.
2. Функция F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0£ F(x)£ 1.
3. F(-µ) =0; F(+Ґ) = 1;
4. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал от a до b равна:
Р(a£Х£b)=F(b)- F(a). (1.1)
График функции распределения F(x) приведен на рис. 1, а. График F(x) для непрерывных случайных величин – непрерывная кривая в отличие от дискретных случайных величин, для которых график F(x) – ступенчатая фигура.
1.4. Плотностью распределения вероятности f(х) непрерывной случайной величины Х называется первая производная от функции распределения:
f (x)= F'(х). (1.2)
Поэтому плотность распределения вероятности f(х) также называют дифференциальной функцией распределения, а F(x) – интегральной функцией распределения.
График плотности распределения вероятности f(х) называется кривой распределения (рис. 1, б-д).
Свойства f(х):
1. Функция f(х) есть неотрицательная функция: f(х)≥ 0.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в заданный интервал от a до b равна:
|
|
С геометрической точки зрения эта вероятность численно равна заштрихованной площади под кривой распределения (см. рис. 1, б).
3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал от -µ до +Ґ равна 1:
С геометрической точки зрения это означает, что вся площадь под кривой распределения = 1 (см. рис. 1, в).
4. Интегральную функцию распределения F(x) непрерывной случайной величины можно выразить через плотность распределения вероятностей по формуле:
С геометрической точки зрения интегральная функция распределения равна площади заштрихованной фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 1, г).
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
|
1.5. Свойства непрерывных случайных величин:
1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю:
Р(Х=a)= 0.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал от (α, β) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым: