Глава I. Элементы теории вероятностей.
Большинство разделов физики оперируют достаточно неболь-шим количеством объектов и связей между ними. При описании же процессов, происходящих в веществе, мы вынуждены рассматри-вать огромное количество объектов – молекул. Реальное вещество состоит из очень большого количества молекул. Например, в обыч-ном состоянии в 12 граммах изотопа углерода содержится N =6,02.1023 молекул (число Авогадро). С точки зрения обычной механики, для каждой молекулы надо было бы записать уравнение движения:
, где (1.1)
Более того, для решения системы из N векторных уравнений необходимо будет записать эти уравнения в проекциях сил на 3 оси координат. Итого, для N молекул мы запишем 3N уравнений. Ре-шать такое количество уравнений совместно невозможно даже с применением современной вычислительной техники. Время реше-ния подобной системы уравнений во много раз превышает время, за которое рассматриваемая система молекул изменит свое состоя-ние. Отсюда видно, что для описания большого коллектива частиц невозможно пользоваться динамическим методом. Для описания таких коллективов прибегают к статистическому (вероятностному) и термодинамическому методам.
|
|
Основной особенностью статистических методов является их вероятностный характер: рассматриваемый процесс представляется как процесс случайный, и выводятся некоторые закономерности для него.
На практике часто приходится сталкиваться со случайными про-цессами. Случайность – это неустановленная закономерность. И в большинстве случаев бывает гораздо выгоднее статистически опи-сать случайный процесс, нежели определять закономерность полу-чения того или иного результата и учитывать всю совокупность параметров, приводящих к конкретному результату.
Случайным процессом называется такой процесс, который при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по–иному. Например, к случайным процес-сам можно отнести бросание монеты или игральной кости. Каждый из этих процессов безусловно подчиняется хорошо известным фи-зическим законам. Вместе с тем, описать каждый конкретный слу-чай достаточно сложно – он зависит от очень большого количества условий. Поэтому процесс можно считать случайным.
Каждому случайному процессу можно поставить в соответствие случайную величину, характеризующую этот процесс. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины разделяются на дискретные, возмож-ные значения которых могут быть заранее просчитаны, и непрерыв-ные, непрерывно заполняющие некоторый промежуток. В нашем примере с монетой случайная величина, описывающая процесс бросания, может принимать два значения: или Р(решетка) или О(орел). Случай, когда монета встает на ребро, происходит очень редко, поэтому учитывать его не будем. Для математического опи-сания случайной величины лучше присваивать ей численные значе-ния, скажем, 0 для решетки, и 1 для орла. В примере с игральной костью за случайную величину удобно принять количество очков, выпавших при бросании. Случаи, когда кость встает на ребро или на вершину, также не учитываются.
|
|
Статистической вероятностью появления определенного значения случайной величины называется отношение коли-чества появлений данного значения случайной величины к общему количеству проведенных опытов:
(1.2)
Статистическая вероятность является величиной оценочной, приблизительной. Она рассчитывается по ограниченному количест-ву опытов. Если провести опыт с бросанием монеты 10 раз , то можно получить результат, при котором решетка выпадет 7 раз . Отсюда статистическая вероятность выпадения решетки Это значение достаточно далеко от истинного (при условии, что обе стороны монеты равноправны). Для получе-ния более точных характеристик необходимо увеличить количество опытов и рассчитать вероятность появления решетки. При доста-точно большом количестве опытов станет ясно, что вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решетки. Обе эти вероятности имеют одно и то же значение: .
Вероятностью появления определенного значения назы-вается предел статистической вероятности при стремлении коли-чества опытов к бесконечности:
(1.3)
Событием называется всякий факт, который в результате прове-дения опыта может произойти или может не произойти.
Несовместными событиями называются события, которые не могут произойти одновременно в результате одного опыта. Напри-мер, невозможно выпадение и орла и решетки одновременно.
Независимыми событиями называются такие события, возник-новение которых не зависит друг от друга.
Для несовместных и независимых событий можно сформулиро-вать следующие свойства вероятностей:
1. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий или равна сумме вероятностей происхождения этих событий:
(1.4)
2. Вероятность того, что сразу после события произойдет со-бытие , равна произведению вероятностей происхождения этих событий:
(1.5)
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значе-ниями случайной величины и соответствующими им вероятностя-ми.
ФУНКЦИЯ И ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для количественной характеристики распределения вероят-ностей удобней пользоваться не вероятностью того события, что случайная величина примет значение ,т.е. , а ве-роятностью события , т.е. того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторой текущей переменной . Вероятность этого события зависит от значения , т.е. является функцией от . Эта функция называется функцией распределения
случайной величины и обозначается :
(1.6)
Функция распределения случайной величины ¾ самая универ-сальная характеристика случайной величины, она существует как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Функ-ция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Функции распределения обладают некоторыми об-щими свойствами:
1. Функция распределения есть неубывающая функция сво-его аргумента, т.е. при выполняется .
2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .
|
|
3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини-це: .
График функции распределения в общем случае может быть представлен как график неубывающей функции (рис.1), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точ-ках функция может иметь скачки (разрывы).
Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Поскольку для непрерывной случайной величи-ны вероятность принятия случайной величиной любого отдельного значения равна нулю, то вычислим вероятность попадания этой
случайной величины на участок от до :
(1.7)
Вероятность попадания в указанный интервал рассчитывается как приращение функции распределения на этом участке. Рассмот-рим отношение этой вероятности к величине интервала, т.е. сред-нюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участ-ке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производ-ную от функции распределения:
(1.8)
Введем обозначение для производной от функции распределе-ния:
(1.9)
Функция характеризует как бы плотность, с которой рас-пределяется значение случайной величины в данной точке (а на самом деле отражает быстроту возрастания функции распределе-ния). Функция называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . В отличие от функции распределения, плотность распределения не является универсальной – она существует только для непрерывных величин. Кривая, изображающая плотность распределения случай-ной величины, называется кривой распределения (рис.2).
Геометрически вероятность попадания величины в участок равна площади кривой распределения,опирающейся на этот участок. Значение же функции распределения есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащей левее точки .
Для дискретных величин аналогом графика распределения может служить гистограмма, отображающая величину прироста функции распределения (рис.3).
|
|
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: . Это свойство вытекает непосредственно из того, что есть функция неубывающая.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице: (условие нормировки). Условие говорит о том, что вероятность принятия случайной величиной какого–ли-бо значения равна единице.
ПАРАМЕТРЫ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случай-ную величину с вероятностной точки зрения. Однако на практике часто нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, достаточно указать отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распре-деления случайной величины, например, какое–то среднее значе-ние, какое–либо число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего.
Основной характеристикой случайной величины является мате-матическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случай-ную величину , принимающую значения с вероят-ностями, соответственно, . Для того чтобы охаракте-ризовать каким–то числом положение значения случайной величи-ны на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различ-ные вероятности, удобно воспользоваться так называемым “сред-ним взвешенным” из значений , причем каждое значение при осреднении должно учитываться с “весом”, пропорциональным ве-роятности этого значения. Вычисленное среднее значение бу-дет называться математическим ожиданием случайной величины :
(1.10)
Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений слу-чайной величины равна единице (), если события несов-местные, то математическое ожидание рассчитывается по формуле:
(1.11)
Итак, математическим ожиданием называется сумма произведе-ний всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Для непрерывных случайных величин математи-ческое ожидание определяется по формуле:
(1.12)
Математическое ожидание случайной величины относится к так называемым начальным моментам случайной величины, характе-ризующим положение случайной величины. Начальным моментом -го порядка случайной величины называется сумма вида:
(1.13)
для дискретных случайных величин; и
(1.14)
для непрерывных случайных величин.
Таким образом, математическое ожидание является начальным моментом первого порядка или первым начальным моментом. Оче-видна физическая интерпретация математического ожидания: если на оси в точках располагаются массы , то первый начальный момент определит положение центра масс на оси . Для пространственного случая будет определено положение центра масс в пространстве относительно точки начала отсчета.
Пользуясь определением математического ожидания, можно дать следующее определение начального момента: начальным мо-ментом -го порядка случайной величины называется математи-ческое ожидание -й степени этой случайной величины:
(1.15)
Другими важными характеристиками распределения случайной величины являются так называемые центральные моменты.
Назовем отклонением (или флуктуацией) случайной величи-ны разность между значением случайной величины и ее матема-тическим ожиданием:
(1.16)
Другое название флуктуации случайной величины – это цен-трированная случайная величина, соответствующая величине . Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в точку, координата которой равна математическому ожиданию.
Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они равносильны моментам относитель-но центра масс в механике.
Таким образом, центральным моментом – го порядка случай-ной величины называется математическое ожидание –й степе-ни соответствующей центрированной величины:
(1.17)
Для дискретной случайной величины –й центральный момент выражается суммой:
, (1.18)
а для непрерывной- интегралом:
(1.19)
Для любой случайной величины первый центральный момент равен нулю:
, (1.20)
так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.
Большое значение для характеристики распределения случайной величины имеет второй центральный момент, называемый диспер-сией случайной величины, который представляет собой мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:
(1.21)
для дискретных случайных величин;
(1.22)
для непрерывных случайных величин.
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние значе-ний случайной величины относительно математического ожидания. Механическая интерпретация второго центрального момента (дис-персии) – это момент инерции тела относительно центра масс.
Для наглядной характеристики рассеивания случайной величи-ны удобней пользоваться величиной, размерность которой совпада-ет с размерностью самой случайной величины. Для этого из дис-персии извлекают квадратный корень, и полученная величина но-сит название среднего квадратичного отклонения случайной вели-чины :
(1.23)
Для характеристики асимметрии распределения используют тре-тий центральный момент, он имеет размерность куба случайной ве-личины; чтобы получить безразмерную величину, его делят на куб среднего квадратичного отклонения :
(1.24)
Полученная величина называется коэффициентом асимметрии или просто асимметрией.
Четвертый центральный момент характеризует остро- или плос-ковершинность распределения. Соответствующий коэффициент на-зывается эксцессом и рассчитывается как
(1.25)
Число 3 вычитается потому, что для самого распространенного в природе нормального закона, который мы рассмотрим позже, от-ношение . Таким образом, для нормального закона эксцесс равен нулю; более островершинные законы будут иметь положи-тельный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.
ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Самым простым законом распределения является закон равномерного распределения, при котором все возможные значения случайной величины равновероятны. График функции распреде-ления при равномерном распределении представляет собой прямую линию (рис.4):
Основные характеристики равномерного распределения:
; ;
; ;
Наиболее часто встречающийся на практике закон распределе-ния – это нормальный закон распределения, который еще называют законом Гаусса. Главная особенность нормального закона, отлича-ющая его от других законов распределения, состоит в том, что нор-мальный закон является предельным законом, к которому прибли-жаются другие законы распределения при весьма часто встреча-ющихся типичных условиях.
Функция плотности распределения нормального закона имеет вид:
(1.26)
Основной особенностью графика плотности распределения по нормальному закону является то, что кривая распределения имеет симметричный холмообразный вид (рис.5).
Максимуму функции, равному , соответствует точка ; по мере удаления от точки плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Численные параметры и , входящие в распределение, есть, со-ответственно, математическое ожидание и среднее квадратичное от-клонение. Непосредственно из формулы (1.26) видно, что явля-ется центром симметрии распределения. Это ясно из того, что при изменении знака разности выражение (1.26) не изменяется. График нормального распределения симметричен относительно ма-тематического ожидания. Если изменить параметр , то график будет смещаться, не изменяя своей формы вдоль оси абсцисс. То есть параметр характеризует положение распределения на оси абсцисс. Параметр же характеризует не положение, а форму кри-вой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наиболь-шая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ; при увеличении максимальная ордината уменьшается. Так как площадь фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, должна всегда быть равной единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении кривая распределения вытягивается вверх, сжимаясь с боков, становясь более иглообразной.
На рис.6 показаны три нормальные кривые распределения при , для которых выполняется соотношение .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины для нормального распределения в общем виде раcсчитываются доста-точно сложно, и их конкретные значения зависят от конкретного вида случайной величины; но можно выяснить соотношения между средним квадратичным отклонением и центальными моментами. Эти соотношения не зависят от конкретного распределения, и для всех случайных величин, подчиняющихся нормальному закону, оди-наковы. Для нормального закона выполняется следующее соот-ношение между центральными моментами:
(1.27)
Так как , то все нечетные моменты также равны нулю. Это, впрочем, следует и из симметричности распределения. Так как для нормального закона , то его асимметрия также равна нулю:
(1.28)
Для четных моментов выполняются следующие соотношения:
; (1.29)
, (1.30)
отсюда имеем эксцесс для нормального закона
(1.31)
Глава II. Распределение Максвелла
Распределение Максвелла занимает особое место среди прочих законов распределения. Этот закон описывает скорости движения молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии. Распределение Максвелла является следствием нормального закона распределения. Распределение молекул по одной составляю-щей скорости описывается нормальным законом распределения:
, (2.1)
где – масса молекулы газа, – абсолютная температура,
– постоянная Больцмана.
Поскольку функция является экспоненциальной зависи-мостью от квадрата проекции скорости , то она является симмет-ричной относительно нулевого значения и график её совпадает с кривой Гауссовского распределения (рис. 7).
Вероятность того, что проекция скорости лежит в интервале равна площади заштрихованной полоски. Функция нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой :
(2.2)
Интегрирование в бесконечных пределах не означает, что в газе есть молекулы с такими скоростями (скорость движения ограниче-на скоростью света). Молекул с очень большими скоростями доста-точно мало, и они не вносят никакого вклада в нормировочный ин-теграл. Это и позволяет записывать такие пределы интегрирования.
Аналогичный вид имеют выражения для функций по осям и ().
Поскольку оси координат равноправны, как и равноправны проекции , то находим, что распределение по скоростям может быть найдено как:
(2.3)
Тогда для объемной функции распределения получаем (так как ):
(2.4)
Объемная плотность распределе-ния позволяет найти вероятность по-падания модуля скорости молекул в определенный интервал. В отличие от площадь под кривой физического смысла не имеет.
Найдем вероятность или относи-тельное число молекул, модуль ско-рости которых заключен в интерва-ле . Таким молекулам соот-ветствуют точки в пространстве ско-ростей, попадающие в сферический слой с радиусами и (рис.8).
Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя и его толщины, т.е. , объемная плотность вероятности во всех точках слоя одинакова. Попадание модулей скорости разных моле-кул в заданный слой есть события независимые, и мы можем при-менять свойство сложения вероятностей.
Вероятность попадания в этот слой:
(2.5)
Искомая зависимость вероятности от модуля скорости моле-кулы:
(2.6)
Учитывая выражение для объемной плотности вероятности и то, что скорость движения молекул зависит от температуры сре-ды, запишем закон распределения Максвелла по модулю скорости:
(2.7)
Эта функция также нормирована на единицу:
(2.8)
Следует обратить внимание, что в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение кинетической энергии молекулы , соответствующей рассматриваемой скорости , к величине , характеризующей среднюю энергию молекул газа. Функция зависит не только от скорости молекул, но и от температуры газа, что и отражено в обозначении функции.
Полученные Максвеллом распределения по скоростям не зави-сят ни от структуры молекул, ни от вида взаимодействия из друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества, что мы и увидим в лабораторной работе №2.
Вид функции приведен на рис.9.
Характерные скорости
Полученные выражения для распределения по скоростям позво-ляют установить некоторые характеристики этого распределения. Это три скорости движения молекул газа: наиболее вероятная , средняя и среднеквадратичная .
Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения , который находится из условия ра-венства нулю производной по скорости:
(2.9)
или, опуская постоянные множители:
(2.10)
Данному уравнению удовлетворяют три значения скорости:
1.
2. . Оба значения соответствуют минимумам .
3. Значение , обращающее в нуль выражение , и дает нам искомую наиболее вероятную скорость:
, (2.11)
где - молярная масса газа.
Средняя скорость (имеется в виду средняя арифметическая скорость) по определению
(2.12)
Среднеквадратичная скорость находится из условия
, (2.13)
откуда
(2.14)
Поскольку функция распределения Максвелла несимметрична относительно наиболее вероятного значения, то и для трёх харак-терных скоростей значения различны. Вместе с тем наблюдается постоянное соотношение характерных скоростей:
(2.15)
Зависимость распределения от температуры
Подставив выражение для наиболее вероятной скорости в выражение для функции распределения , найдем максималь-ное значение :
(2.16)
Отсюда видно, что при увеличении температуры (при постоян-ной массе молекул) или уменьшении массы молекул(при постоян-ной температуре) максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а величина максимума уменьшается. При этом площадь под кривой остается равной единице. Наглядно зависи-мость можно представить в виде трёх кривых, которые можно рас-сматривать как кривые функции для постоянной темпера-туры при либо для постоянной массы при (рис.10)