Запишем соотношения:
W(jω) = U(ω) + jV(ω)
W*(jω) = U(ω) + jωV(ω) (29)
U(-ω) = U(ω)
V(-ω) = -V(ω)
1.Из соотношений (29) следует, что кривая Найквиста и модифицированная частотная характеристика пересекают действительную ось в одних и тех же точках.
2.Если для данного интервала частот кривая Найквиста расположена в нижней (верхней) полуплоскости, то и модифицированная частотная характеристика также расположена в нижней (верхней) полуплоскости.
3.Если степень знаменателя W(p) больше степени числителя, то кривая Найквиста стремится к началу координат при ω→∞.
Для модифицированной частотной характеристики это свойство имеет место, только если степень знаменателя W(p) выше степени числителя на два и более. Если степень знаменателя W(p) больше степени числителя на единицу, то модифицированная частотная характеристика при ω→∞ будет стремиться не к началу координат, а к некоторой точке на мнимой оси.
4.Если W(p) содержит интегрирующее звено, то кривая Найквиста начинается (ω>0) из бесконечности. Модифицированная частотная характеристика в этом случае начинается из некоторой конечной точки комплексной плоскости.
|
|
5.Если W(p) имеет два интегрирующих звена, то W(jω) имеет параболический характер (у неё нет асимптот). Модифицированная частотная характеристика имеет горизонтальную асимптоту.
6.Если W(p) содержит консервативное звено, то кривая Найквиста и модифицированная частотная характеристика имеют разные наклонные асимптоты.
Уточним указанные свойства.
Обозначим:
· Определим предельную точку W*(p) при ω→∞, когда n-m=1. так как мы рассматриваем только большие значения ω, то можно пренебречь всеми степенями, начиная с n-2. Следовательно, можно записать
Следовательно
Если ω→∞, то
Следовательно, модифицированная частотная характеристика при n-m=1 заканчивается не в начале координат, а на мнимой оси, в точке .
· Вычислим начальную точку(ω=0) модифицированной частотной характеристики в случае, когда W(p) содержит интегрирующее звено.
Так как мы рассматриваем малые значения ω, то можно пренебречь всеми членами в выражении W(p), имеющими степень больше единицы.
При ω→0 можно записать:
(Индексы при коэффициентах опущены)
Пренебрегая , получим
Следовательно,
Таким образом, модифицированная частотная характеристика при ω=0 начинается из точки комплексной плоскости (k(b-a);k).
Два вышеприведённых свойства можно проиллюстрировать на примере передаточной функции
На рисунке 16 сплошной линией показана кривая Найквиста, а сплошной линией модифицированная частотная характеристика.
|
|
Рис. 16
· Если W(p) содержит два интегрирующих звена, то при значениях переменной p, близких к нулю, можно приближённо записать
( η>0 и ρ>0 )
Следовательно, модифицированная частотная характеристика будет иметь горизонтальную асимптоту - .
· Если W(p) содержит консервативное звено, то в окрестности точки разрыва можно приближённо записать:
Тангенс угла наклона асимптоты кривой Найквиста:
Тангенс угла наклона асимптоты модифицированной частотной характеристики:
Ниже приведены примеры сравнения кривых Найквиста и модифицированных частотных характеристик (показаны пунктиром).
W(p) = Рис. 17. |
W(p) = Рис. 18. |