SVD-разложение прямоугольной матрицы

Сингулярным разложением матрицы A размером MxN называется её представление в виде A = U W V ^T, где U - ортогональная матрица размером MxM, V - ортогональная матрица размером NxN, W - матрица размером MxN, на главной диагонали которой находятся неотрицательные числа, расположенные в порядке убывания, а все внедиагональные элементы равны нолю.

С учетом свойств матрицы W, большей частью состоящей из нулей, для получения матрицы A требуется не M столбцов матрицы U, а лишь первые min(M,N) столбцов (в примере выше - три столбца), аналогично, лишь первые min(M,N) строк матрицы V ^T влияют на результат произведения. Эти столбцы и строки называются левыми и правыми сингулярными векторами.

Сингулярное разложение обладает рядом полезных свойств, в частности, оно может использоваться: при решении недоопределенных или переопределенных систем линейных уравнений, при обращении и псевдообращении матриц, при вычислении числа обусловленности матрицы, при ортогонализации систем векторов и вычислении ортогональных дополнений к ним.