Ход работы

Исследование цепи переменного тока с последовательным соединением катушки индуктивности и конденсатора. Резонанс напряжений

Цель работы: освоить навыки ИССЛЕДОВАНИя ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ И КОНДЕНСАТОРА

Оборудование: схемы, чертежи, методические указания

Ход работы

Источники электрической энергии цепей переменного тока представляют собой генераторы гармонических напряжений и токов. Токи и напряжения на элементах электрической цепи характеризуются тремя величинами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Однако частоты источников обычно бывают известными, поэтому расчет цепи сводится к определению амплитуд и фаз токов ветвей и напряжениям на элементах цепи.

В цепях переменного тока реактивные элементы, т.е. катушка индуктивности и конденсатор, имеют конечные, не равные нулю значения сопротивлений. Величина активного сопротивления не зависит от вида тока, поэтому остается равной сопротивлению при постоянном токе.

Все законы и методы применимые для цепей постоянного тока справедливы также для цепей переменного тока. При этом нужно иметь в виду, что они должны быть записаны в комплексной форме. В частности закон Ома записывается как:

,

где и комплексные значения тока и напряжения, и комплексная проводимость и сопротивление соответственно.

Законы Кирхгофа в комплексной форме имеют вид:

- первый закон Кирхгофа

- второй закон Кирхгофа

Особенностью цепей переменного тока является то, что сопротивления этих элементов являются комплексными величинами, более того, чисто мнимыми числами, причем с разными знаками. Что еще более отличает цепи переменного тока, так это то, что сопротивления реактивных элементов зависят от частоты.

Для индуктивного элемента (идеальной катушки индуктивности) модуль сопротивления , а комплексное сопротивление .

Для емкостного элемента (идеального конденсатора) модуль сопротивления , а комплексное сопротивление .

Соответственно модуль проводимости индуктивного элемента , а комплексная проводимость .

Для емкостного элемента модуль проводимости , а комплексная проводимость .

Реальные элементы электрической цепи обладают сопротивлением, имеющим как действительную, так и мнимую составляющие. Примером может являться катушка индуктивности. Провод, которым она намотана, обладает сопротивлением даже на постоянном токе, поэтому ее схему замещения можно рассматривать как последовательное соединение сопротивления R _к и идеальной индуктивности L _к. Комплексное сопротивление при таком соединении равно сумме сопротивлений, т.е.

,

а проводимость

т.е.

Действительная часть сопротивления и проводимости называется активной составляющей, соответственно, сопротивления или проводимости, а мнимая часть реактивной составляющей сопротивления или проводимости. Так активная составляющая сопротивления катушки равна R, а реактивная составляющая X_к. Активная составляющая проводимости катушка

,

а реактивная

.

Таким образом, .

В цепях переменного тока напряжения и токи отображаются в виде комплексных векторов, т.е. объектов которые можно охарактеризовать двумя величинами – модулем (длиной вектора) и аргументом (углом наклона к действительной оси). Аргумент комплексной величины часто называют фазой. Комплексное напряжение и ток записываются так:

и .

Здесь U и I действующие значения напряжения и тока, и - фазы напряжения и тока соответственно.

В цепях с изменяющимися реактивными сопротивлениями происходит не только изменение модулей токов и напряжений, но и изменение их аргументов, т.е. изменение взаимного расположения векторов. В результате возникают явления не характерные для цепей постоянного тока.

В настоящей лабораторной работе исследуется вопрос изменение токов и напряжений в цепи с одним переменным параметром. Для того, чтобы понять происходящие при этом явления рассмотрим простейшую цепь, изображенную на рис.5.1.а. В этой цепи изменяется величина емкости конденсатора С.

Построим векторно-топографическую диаграмму токов и напряжений этой цепи. При этом будем рассуждать следующим образом. Напряжения и токи это комплексные вектора. На комплексной плоскости в некотором масштабе отложим вектор , рис.5.1.б. Начальную фазу вектора положим равной нулю, т.е. будем считать, что вектор лежит на действительной оси. Позже мы увидим, что это предположение никак не влияет на величину остальных векторов.

а)	б)

Рис.5.1. Простейшая схема, содержащая активное и реактивное сопротивление

Так как нагрузка имеет емкостной характер, то вектор тока опережает напряжение на некоторый угол φ. Отложим вектор тока на комплексной плоскости. Напряжение на активном сопротивлении , т.е. в R раз превосходит ток. Напряжение на конденсаторе . Умножение на – j означает то, что вектор повернут относительно вектора тока на угол –p/2, или иначе, угол между вектором тока и вектором напряжения всегда равен p/2. В тоже время сумма векторов . Такие соотношения между векторами возможны только тогда, когда конец вектора находится на окружности, построенной на векторе как на диаметре. Если в такой цепи менять один из параметров R или C, то конец вектора будет скользить по окружности. Поэтому такого рода диаграммы называются круговыми. Рассмотрим подробнее случай изменения емкости конденсатора С.

При С =0, т.е. при ток в цепи равен нулю. Напротив если С =∞, т.е. ток достигает максимального значения. Глядя на круговую диаграмму можно сказать, что при С =0, конец вектора попадает в точку 0, а при С =∞ в точу . В промежуточных значениях С конец вектора находится на упомянутой окружности. Кстати говоря, вектор тока тоже движется по окружности, правда другого диаметра. Это следует из того, что вектора и отличаются только множителем R.

Рассмотренную векторную диаграмму можно построить в масштабе, и работать с ней, избегая многих вычислений. Но мы этого делать не будем. Наша задача будет состоять в том, чтобы на основании качественных рассуждений построить круговую диаграмму для выяснения вида зависимостей токов и напряжений от величины изменяемого параметра цепи. Так в рассмотренном нами случае становится ясно, что при изменении С от 0 до ∞ ток в цепи, впрочем как и напряжение на резисторе, изменяется от 0 до максимального значения, напротив напряжение на конденсаторе убывает от величины ЭДС Е до нуля.

Теперь вернемся к вопросу о начальной фазе вектора . Очевидно, что при не нулевой фазе диаграмма должна быть повернута относительно точки 0, но расположение векторов относительно друг друга никак не изменится. Это говорит о том, что величина векторов и соотношение между ними не зависит от начальной фазы.

Аналогичным образом можно построить круговую диаграмму для цепи, состоящей из резистора и идеальной катушки индуктивности.

В настоящей лабораторной работе исследуются электрические цепи с последовательным включением конденсатора и катушки индуктивности (рис.5.2) при изменении емкости конденсатора С.

Появление элементов с сопротивлениями разных знаков приводит к тому, что они начинают частично или полностью компенсировать друг друга. В свою очередь это вызывает изменение токов и напряжений в ветвях цепи.

Рассмотрим подробнее явления, происходящие в цепи с последовательным включением катушки индуктивности и конденсатора, рис 5.2. Для иллюстрации зависимостей между током , напряжениями , и емкостью конденсатора С построим круговую диаграмму, рис.5.3,а. С целью упрощения рисунка будем считать, что внутреннее сопротивление источника R _вн=0. Построение начнем с того, что построим в выбранных координатных осях вектор . Как и ранее начальная фаза вектора принята равной нулю. Предположим, что сопротивление конденсатора настолько мало, что сопротивление цепи носит индуктивный характер. Это значит, что ток, протекающий в цепи должен отставать по фазе от ЭДС на угол φ.

Рис.5.2. Электрическая цепь с последовательным включением катушки и конденсатора

Для построения круговой диаграммы из начала координат комплексной плоскости под произвольным углом φ проведем луч 0b. Отложим на нем вектор тока . Напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с током протекающие через это сопротивление. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол p/2. Напротив напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол p/2. Однако процесс построения векторов, соответствующий этим напряжениям пока неясен.

а)	б)

Рис.5.3. векторно-топографические диаграммы цепи с нагрузкой, носящей индуктивный (а) и емкостной (б) характер

Изменение векторов напряжений на последовательно соединенном активном и реактивном элементе, как было показано, происходит так, что конец вектора напряжения на активном сопротивлении движется по окружности. В данном случае реактивное сопротивление образовано последовательным соединением индуктивности катушки и конденсатором.

Для того, чтобы верно отобразить соотношения между направлениями и размерами векторов, поступим следующим образом. Сначала на векторе , как на диаметре, построим окружность. Через точку а, которая является точкой пересечения луча 0b с окружностью, и точку с, соответствующую концу вектора , проведем прямую. Тогда вектор длиной , проведенный в выбранном масштабе вдоль этой прямой, будет соответствовать вектору напряжения на индуктивности, а вектор 0а напряжению . Вектор отстает по фазе от вектора тока на угол p/2, говоря иначе, он направлен навстречу вектору .

Конец вектора тока, протекающего в цепи, при изменении любого сопротивления скользит по самой малой окружности, т.к. величина тока пропорциональна напряжению U_{R к}.

Ток в цепи с последовательным включением катушки и конденсатора определяется как:

Действующее значение тока находится как модуль

Ток в цепи, как следует из полученной формулы, зависит от сопротивлений элементов цепи. Если изменять одно из реактивных сопротивлений или , то возможно добиться равенства . В этом случае ток значительно возрастает, т.к. внутреннее сопротивление источника и активное сопротивление провода катушки обычно не превосходят нескольких Ом. При идеальном источнике и катушке, т.е. при , ток стремится к бесконечности.

При равенстве вектора напряжений и равны по модулю и противоположны по направлению, рис.5.4. Такой режим называется режимом резонанса напряжений.

Условие резонанса напряжений , можно записать иначе . Отсюда можно найти величину емкости конденсатора при которой наступает резонанс

Рис.5.4. Векторно-топографическая диаграмма цепи в режиме резонанса напряжений

В режиме резонанса напряжений при малом внутреннем сопротивлении катушки, ток может достигать больших величин. В этом случае напряжение на конденсаторе и на катушке может достигать больших величин значительно (иногда в десятки раз) превосходящих напряжение источника.