Расчет параметров события

Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние tp(i) и наиболее поздние tп(i) сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

tp(j) = max [tp(i)+t(i,j)] (1)

Здесь максимум берется по всем работам, входящим в событие j, Uj – множество таких работ: j = 1,2…m. Таким образом, для вычисления раннего срока и наступления события нужно уже вычисленный ранний срок предшествующего события tp(i) сложить с длительностью работы t(i,j), идущей от предшествующего события к данному.

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок tп(i) свершения i-ого события равен:

tп (i) = t kp – max t(Lci) (2)

где L ci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события (c) сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

tп(i) = min [tp(j) – t(i,j)] (3)

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R(i) = tп (i) – tp(i) (4)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

В качестве примера определим временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис. 1. Найденные параметры сведем в табл. 3.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулу (1).

Для i=0 (начального события), очевидно tp(1)=0.

Для i=1* tp(1*) = tp(0)+ t(0,1*) = 0+4 = 4 (дня), так как для события 1* существует только один предшествующий путь 0 1*.

Для i=2 tp(2) = tp(1*)+t(1*,2)=4+3=7, так как для события 2 существует один предшествующий путь 1* 2.

Для i=1 tp(1)= max{tp(1*)+t(1*,1); tp(2)+t(2,1)}= max (4+3;7+0) = (7;7)= 7, так как для события 1 существует два предшествующих пути 1* 1; 2 1(мнимый), из них надо выбрать максимальный, они оказались равновеликими.

Аналогично определяем сроки раннего начала для остальных событий сети:

p(3*)= tp(1)+t(1,3*)= 7+12=19;

tp(3)= tp(3*)+t(3*,3)= 19+3=22;

tp(4)= tp(3*)+t(3*,4)= 19+7=26;

tp(5)= tp(3*)+t(3*,5)= 19+15=34;

tp(6)= max{ tp(4)+t(4,6); tp(3)+t(3,6); tp(5)+t(5,6)}= max{26+0;22+0; 34+3}=max{26;22;37}=37;

tp(7*)= tp(6)+t(6,7*)=37+10 =47

tp(7)= tp(7*)+t(7*,7)=47+4=51;

tp(8)= tp(7*)+t(7*,8)=47+4=51;

tp(9)= max{ tp(7)+t(7,9); tp(8)+t(8,9)}=max (51+2;51+0) = max(53;51)=53;

tp(10)= tp(9)+t(9,10)=53+3=56;

tp(11)= tp(7)+t(7,11)=51+10=61;

tp(12)= tp(9)+t(9,12)=53+1=54;

tp(13)=max{tp(10)+t(10,13); tp(11)+t(11,13);

tp(12)+t(12,13)}=max{56+0;61+0;54+0}=max(56;61;54)=61.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 13:

t kp= tp(13)= 61 (дню).

При определении поздних сроков свершения событий tп(i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулу (3).

Для i=13 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): tп(13)= tр(13)=61 (день).

Для i=12 tп(12)= tп(13)- t(12,13)=61-0=61, так как для события 12 существует только один последующий путь 12 13.

Для i=11 tп(11)= tп(13)- t(11,13)=61-0=61, так как для события 11 существует только один последующий путь 11 13.

Для i=10 tп(10)= tп(13)- t(10,13)=61-0=61, так как для события 10 существует только один последующий путь 10 13.

Для i=9 tп(9)=min{ tп(10)- t(9,10); tп(12)- t(9,12)}=min{61-3; 61-1}=min{58; 60}=58, так как для события 2 существует два последующий пути 9 10 13 и 9 12 13.

Для i=8 tп(8)= tп(9)- t(8,9)=58-0=58, так как для события 8 существует только один последующий путь 8 9.

Для i=7 tп(7)=min{tп(11)- t(7,11); tп(9)- t(7,9)}=min{61-10; 58-2}=min{51; 56}=51, так как для события 7 существует два последующих пути 7 11 13 и 7 9 10 13.

Для i=7* tп(7)=min{ tп(7)- t(7*,7); tп(8)- t(7*,8)}=min{51-4; 58-4}=min{47; 54}=47, так как для события 7* существует два последующих пути 7* 7 11 13 и 7* 8 9 10 13.

Для i=6 tп(6)=min{ tп(7*)- t(6,7*)=min{47-10=37, так как для события 6 существует один последующий путь и 6 7* 7 11 13.

Для i=5 tп(5)= tп(6)- t(5,6)=37-3=34, так как для события 5 существует только один последующий путь5 6 7 11 13.

Для i=4 tп(4)= tп(6)- t(4,6)=37-0=37, так как для события 4 существует только один последующий путь4 6 7 11 13.

Для i=3 tп(3)= tп(6)- t(3,6)=37-0=37, так как для события 3 существует только один последующий путь3 6 7 11 13.

Для i=3* tп(3*)=min{tп(3)- t(3*,3); tп(4)- t(3*,4);tп(5)- t(3*,5)}=min{37-3; 37-7; 34-15}=min{34; 30;19}=19, так как для события 3* существует три последующих пути 3* 5 6 7 11 13 и 3* 4 6 7 11 13 и 3* 3 6 7 11 13.

Для i=1 tп(1)= tп(3*)- t(3*,1)=19-12=7, так как для события 1 существует только один последующий путь1 3* 6 7 11 13.

Для i=2 tп(2)= tп(1)- t(1,2)=7-0=7, так как для события 2 существует только один последующий путь2 1 3* 6 7 11 13.

Для i=1* tп(1*)=min{ tп(1)- t(1*,1); tп(2)- t(1*,2)}=min{7-3; 7-3}=min{4; 4}=4, так как для события 1* существует два последующих пути 1* 1 3* 5 6 7 11 13 и 1* 2 1 3* 5 6 7 11 13.

Для i=0 tп(0)= tп(1*)- t(0,1)=4-4=0, так как для события 0 существует только один путь.

По формуле (4) определяем резервы времени i-ого события:

Резерв времени события 3 - R(3)=15 – означает, что время свершения события 3 может быть задержано на 15 дней без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя сеть, видим, что не имеют резервов времени события 0,1*,1,2,3*,5,6,7*,7,11,13. Эти события и образуют критический путь.

Таблица 3