Производные высших порядков

Производная f ¢(х) функции y = f (x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Определение 1: Назовём f ¢(х) производной первого порядка.

Определение 2: Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). (f ¢(х))¢= f ²(x)

Определение 3: Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. (f ²(х))¢= f ²¢(x)

Производные начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются: у ², у ¢², у ⁽⁴⁾, у ⁽⁵⁾..., у ^{( n )}.

Определение 4: Производная n -го порядка есть производная от производной (n -1)-го порядка, т.е. у ^{( n )}=(у ^{( n -1)})¢.

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим толкованием второй производной. Если функция у = f (х) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то, первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени x, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. ускорению движущейся точки в момент времени x.