В дальнейшем будем рассматривать только бирегулярные ориентированные кривые

Определение 6.3. Прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор , будем называть касательной прямой в точке кривой . Вектор будем называть единичным вектором касательной.

Определение 6.4. Плоскость, проходящая через точку и имеющая направляющие векторы , называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке .

Упражнение 6.2. Определения 6.3 и 6.4 корректны, то есть не зависят от выбора параметризации.

Следствие 6.1. Какую бы параметризацию окрестности точки мы не взяли, ее вторая производная (это вектор-функция) лежит в соприкасающейся плоскости (точнее принадлежит ее направляющему пространству).

Более того, можно доказать, что, откладывая вторые производные различных параметризаций от точки , мы будем получать точки одной и той же (относительно касательной прямой) полуплоскости соприкасающейся плоскости. Таким образом, направление вектора , идущего перпендикулярно соприкасающейся плоскости, не зависит от выбора параметризации. Вектор будем называть единичным вектором бинормали. Прямую, проходящую через точку в направлении вектора , будем называть бинормалью кривой в точке . Вектор же будем называть единичным вектором главной нормали, а прямую, проходящую через точку в направлении вектора , будем называть главной нормалью кривой в точке .

Таким образом, четверка является правым ортонормированным репером. Этот репер называется репером Френе. Касательная прямая, главная нормаль и бинормаль являются координатными осями соответствующей координатной системы. Для координатных плоскостей этой координатной системы также есть названия. Как уже было сказано, плоскость, содержащая касательную и нормаль, называется соприкасающейся плоскость. Плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью. Плоскость же, содержащая касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью.

Пусть ‑ натуральная параметризация окрестности точки . Тогда, в силу леммы о вектор-функции постоянной длины, вектор перпендикулярен и, следовательно, ‑ единичный вектор главной нормали. Осталось лишь заметить, что – единичный вектор бинормали.

§7. Кривизна кривой

Пусть натуральная параметризация окрестности точки кривой . Рассмотрим векторы ; , обозначим .

Определение 7.1. Величина (скорость изменения угла) называется кривизной кривой в точке .

Так как , то

Значит =

.

Таким образом

где ‑ натуральная параметризация.

Определение 7.2. Вектор называют вектором кривизны кривой в точке . Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в соответствующей точке.

Пусть еще одна, теперь уже произвольная, параметризация окрестности . Нетрудно заметить, что

Здесь мы опустили аргументы и также учли, что и что . Если ‑ замена параметра, то, (так как мы рассматриваем ориентированные кривые, что, впрочем, для данного рассмотрения не ограничивает общность) и . Дважды дифференцируя последнее равенство, получаем: и . Тогда , откуда или, учитывая

§8. Кручение кривой

Пусть натуральная параметризация окрестности точки ориентированной кривой . Обозначим угол между векторами и или, что то же самое, угол между соприкасающимися плоскостями в соответствующих точках (предполагается, что достаточно мало). При этом, если вектор бинормали повернулся в направлении к ‑ поворот, глядя с конца вектора , произошел по часовой стрелке, будем считать угол отрицательным и говорить, что вращение произошло в отрицательном направлении. Если поворот произошел от ‑ поворот, глядя с конца вектора , произошел против часовой стрелки, то угол будем считать положительным и говорить, что вращение произошло в положительном направлении.

Наблюдение: Если при изменении аргумента от до вектор бинормали поворачивается в отрицательном направлении, то векторы и направлены в одно и то же полупространство относительно спрямляющей плоскости. Если вращение положительно – эти векторы направлены в разные полупространства.

Определение 8.2. Величину (каппа) (скорость поворота вектора бинормали) будем называть кручением.

Вычислительные формулы для кручения.

Как и при подсчете кривизны в натуральном параметре, получаем

Продифференцируем равенство (для удобства аргументы опускаем, хотя в качестве упражнения рекомендуем их восстановить):

Кроме того . Значит или .

Переходя к модулям, получаем , значит откуда с учетом наблюдения (кручение, как скорость поворота бинормали, будет положительным (отрицательным), если скалярное произведение отрицательно (положительно)), получаем

Учитывая, а также то, что и , получаем

.

Таким образом, верна

Теорема 8.1. Пусть ‑ произвольная точка (ориентированной) кривой . Тогда кручение кривой в точке вычисляется по формуле

,

где ‑ некоторая (какая-нибудь) н-параметризация некоторой окрестности точки на кривой .

Упражнение 8.1. Пусть ‑ еще одна н-параметризация окрестности , и . Тогда .

Вычислительные формулы для кручения в произвольной параметризации.

Пусть произвольная параметризация окрестности и ‑ замена параметра. Тогда из равенства дифференцированием получаем:

(линейная комбинация векторов и ).

.

В итоге получаем:

§9. Формулы Френе

Теорема 9.1. Пусть натуральная параметризация окрестности на ориентированной кривой , ‑ репер Френе, а и ‑ кривизна и кручение кривой в точке . Тогда имеют место формулы:

Заметим сразу, что . Кроме того, из леммы о вектор-функции постоянной длины и следует, что . Дифференцируя равенство и используя, получаем

_.

Критерии плоской кривой.

Теорема 9.2. Кривая является плоской тогда и только тогда, когда все ее соприкасающиеся плоскости совпадают.

Пусть лежит в плоскости , и ‑ произвольная параметризация окрестности , содержащей точку . Так как , (‑ направляющее пространство плоскости ) и , то соприкасающаяся плоскость кривой в точке совпадает с плоскостью _.

Наоборот, пусть все соприкасающиеся плоскости совпадают и совпадают с плоскостью . Для лежит в некоторой соприкасающейся плоскости, которая в свою очередь совпадает с , следовательно .

Теорема 9.3. Кривая является плоскойтогда и только тогда, когда .

Пусть . Сначала докажем, что у каждой точки кривой существует окрестность на кривой, целиком принадлежащая некоторой плоскости. В самом деле, для произвольной точки существует окрестность , которая может быть параметризована. Предположим, что ‑ натуральная параметризация . По формулам Френе , то есть ‑ постоянный вектор. Но тогда

где ‑ некоторое постоянное число. Формула говорит о том, что при любом точка лежит в плоскости

Теперь заметим, что какую бы дугу кривой мы не взяли, ее можно, в силу компактности, покрыть конечным числом параметризованных окрестностей, каждая из которых лежит в плоскости (6), откуда следует, что кривая целиком лежит в этой плоскости.

Наоборот: пусть кривая плоская. Тогда все ее соприкасающиеся плоскости совпадают. Следовательно, выбрав н-параметризацию окрестности произвольной точки кривой, получим и . В силу формул Френе получаем

§10. Локальное строение кривой

Пусть натуральная параметризация окрестности точки кривой , а и кривизна и кручение в точке соответственно. Обозначим , и . Если принимает произвольное значение из промежутка , то ‑ произвольная точка из некоторой окрестности точки кривой. Считая, что достаточно мало, разложим в ряд Тейлора:

Тогда для радиус-вектора точки в репере Френе = с учетом формул Френе имеем

Обозначив ‑ координаты точки в репере , получим параметрическое уравнение окрестности точки на кривой :

Уравнение позволяет восстановить проекции окрестности на координатные плоскости репера .

§11. Существование и единственность кривой

с заданными кривизной и кручением.

Рассмотрим -матрицу , компонентами которой являются гладкие функции, заданные на интервале . Пусть ‑ столбец, компонентами которого являются гладкие функции, определенные на интервале . Тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, система дифференциальных уравнений имеет единственное максимальное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Теорема 11.1 (об инвариантности репера Френе). Пусть ‑ кривая в , ‑ движение. Тогда

i) ‑ кривая;

ii) если ‑ натуральная параметризация окрестности на кривой , то ‑ натуральная параметризация окрестности на кривой .

iii) () .

Доказательство проведем для случая, когда кривая параметризована глобально, и ‑ параметризация . Рассмотрим пару :

i)

а). В ортонормированной системе координат движение имеет координатное выражение вида: , где ‑ ортогональная матрица () и ‑ -столбец. Являясь полиномами 1-ой степени, координатные функции координатного выражения движения гладки. Следовательно, движение – гладкое отображение. Теперь ясно, что ‑ гладко, так как является композицией гладких отображений.

б). Обозначив линейную часть движения , с учетом, для базиса имеем

Так как , а сохраняет длины векторов, то и , то есть ‑ регулярное отображение.

в). инъективно, как композиция инъективных отображений.

г). Взаимная непрерывность следует из взаимной непрерывности и непрерывности . Таким образом, ‑ кривая.

ii) Так как линейная часть движения сохраняет длины векторов, то из следует, что ‑ натуральная параметризация, если только ‑ натуральная.

iii) Пусть ‑ репер Френе кривой в точке .

а). .

б).

в).

Теорема 11.2 (теорема о единственности кривой).

Пусть и две кривые, а и ‑ их глобальные натуральные параметризации. Пусть также в соответствующих точках (в точках, полученных при одном и том же значении параметра) их кривизны и кручения совпадают: и . Тогда существует движение , такое что .

Для положим . Существует единственное движение , такое что (на векторы репера движение действует своей линейной частью).

Пусть . Кривая проходит через точку и .

Обозначив , , .

Система дифференциальных уравнений

имеет единственное максимальное решение , удовлетворяющее начальным условиям . Но тогда в силу единственности и . Таким образом . В частности, , следовательно . Так как при , то и, значит _.

Теорема 11.3 (о существовании кривой). Пусть и две гладкие функции, заданные на интервале . Тогда существует кривая с глобальной натуральной параметризацией , для которой – кривизна, а – кручение в точке .

Зафиксируем в правый ортонормированный репер . Для и рассмотрим систему дифференциальных уравнений

с начальными условиями . Эта система имеет единственное максимальное решение , удовлетворяющее начальным условиям. Покажем, что при любом упорядоченная тройка векторов является правым ортонормированным базисом, то есть матрица , строки которой состоят из координат соответствующих векторов, ортогональна и . Сразу заметим, что система эквивалентна системе с начальным условием . Так как

и ‑ единичная матрица, то и, в частности, . Из того, что , и непрерывности функции следует .

Осталось лишь показать (это рекомендуется сделать в качестве упражнения), что пара , где есть н-параметризация кривой , при этом – кривизна, а – кручение этой кривой в точке .