Точки разрыва первого рода

Пусть дана функция , - точка разрыва 1 рода функции ,

если в точке существуют конечные односторонние пределы функции справа и слева т.е. и , при этом:

1. если , то точка называется точкой устранимого разрыва 1 рода
2. если , то точка называется точкой конечного разрыва (или неустранимого разрыва) 1 рода. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Пример 1: Возьмём . Все точки области определения этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции , то 0 - точка разрыва функции . Мы можем доопределить эту функцию при , положив , тогда функция становится непрерывной в точке 0. Значит, - точка разрыва первого рода для функции.

Рис. Устранимый разрыв функции

Пример 2: Рассмотрим функцию . Её область определения состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка , в которой функция не определена, это точка разрыва функции. Поскольку при , то . Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .

Рис. Устранимый разрыв функции

Пример 3: Рассмотрим функцию , для которой Функция имеет разрывы при и при . Распишем модуль разности который может быть: и , решением первого неравенства будут 2 интервала , решением второго один интервал , таким образом

в точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем: . Таким образом, предельные значения на краях разрыва существуют, но не совпадают; в точке : снова пределы слева и справа существуют, конечны, но не совпадают.

Рис. График функции , имеющей точки и неустранимого разрыва 1 рода, в которых функция делает скачки, величиной