Метод Галеркина используется для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.
Рассмотрим краевую задачу
(3.1)
Для ее приближенного решения выберем какую-либо последовательность базисных функций
(3.2)
т. е. последовательность функций, удовлетворяющих соответствующим однородным краевым условиям
и обладающих свойством полноты. Последнее означает, что любую функцию из достаточно широкого класса, удовлетворяющую указанным однородным краевым условиям, можно разложить в ряд по функциям (3.2).
Чаще всего полагают
или , .
Кроме того, надо выбрать какую-нибудь функцию , удовлетворяющую краевым условиям, указанным в (3.1), например,
или
Приближенное решение задачи (3.1) ищется в виде
, (3.3)
где функции , , … мы задаем, а постоянные , , …, подбираем. Тогда краевые условия, указанные в (3.1), заведомо удовлетворяются, а при подстановке выражения (3.3) в дифференциальное уравнение получается невязка (т. е. разность между левой и правой частями уравнения)
|
|
.
С ее помощью получаем систему из уравнений с неизвестными для определения
.
3.2. Реализация метода Галеркина в|посредством| MathCad
Пример. Найти методом Галеркина приближенное решение краевой задачи
, .
Приведем решение краевой задачи с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:
Сравним, значения точного и приближенного решений:
например, при имеем
Как видим, погрешность близка к 0,03 %. Для получения более точного решения необходимо использовать большее количество базисных функций.