Кривая называется выпуклой (обращенной выпуклостью вверх) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. |
Кривая называется вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. |
Рис. 1
Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ).
Теорема 1. Если f''(x) < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) выпукла на этом интервале. Если f’’(x) > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) вогнута на этом интервале.
Доказательство.
Докажем первое утверждение теоремы. Пусть f’’(x) < 0 на (ab).
Выберем на интервале (ab) произвольную точку х = х0 и докажем, что все точки кривой на этом интервале лежат ниже проведенной в точке с
абсциссой х0 касательной, то есть ордината любой точки кривой на рассматриваемом интервале меньше ординаты касательной.
Рис. 2
Уравнение кривой имеет вид y = f(x), а уравнение касательной при х = х0:
Тогда
Применив теорему Лагранжа, получим:
где с лежит между х и х0. Применим к первому множителю правой части полученного равенства еще раз теорему Лагранжа:
(здесь с1 – между х 0 и с). Пусть x > x0.
Рис. 3
Тогда
поэтому
Если же x < x0, то
Рис. 4
Но при этом по-прежнему
Таким образом, любая точка кривой на данном интервале лежит ниже касательной в точке с абсциссой х0. Следовательно, кривая является выпуклой.
Второе утверждение теоремы доказывается аналогичным образом.
Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. |
Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже.
Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Если в точке x0 перегиба кривой, являющейся графиком функции y = f(x), существует вторая производная f’’(x), то f’’(x0) = 0.
Доказательство.
Так как при х = х0
по формуле Тейлора получаем:
Если бы , разность сохраняла бы постоянный знак в некоторой окрестности точки х0, в то время как в точке перегиба эта разность должна менять знак. Следовательно, f’’(x0) = 0.
Теорема 3 (достаточное условие точек перегиба). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и f’’(x) меняет знак при х = х0, то х0 – точка перегиба.
Доказательство.
В теореме 1 показано, что знак разности определяется знаком f’’(c1), так как (c – x0)(x – x0)> 0 по обе стороны точки х0. Следовательно, меняет знак при х = х0, то есть х0 – точка перегиба.
Замечание. Можно доказать, что если в условиях теоремы 5 из лекции 10 критическая точка не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.
Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции
Таким образом, график функции является выпуклым при х < 2, вогнутым при х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.