2015-07-14
1002
Пусть происходит N колебаний одинаковой амплитуды E0, частота которых различается на dw. Результат суперпозиции этих колебаний представляется формулой:
(8)
Суммирование этого ряда можно произвести в экспоненциальном представлении гармонических функций:
(9)
Где < w > = w + (N – 1)ew/2 — средняя частота волнового пакета.
Принимая во внимание, что N Dw = Dw - полная ширина частот волнового пакета, выражение (9) можно представить в виде
(10)
В большинстве случаев, представляющих практический интерес, N > > 1 и поэтому в течение многих периодов изменения аргумента Dw T /2 у синуса в числителе формулы аргумент у синуса в знаменателе формулы остаётся малым (Dw T /2 N < < 1), так что можно считать
Поэтому (10) можно записать в виде
(11)
График этой функции приведён на рис. 2.
Огибающая пунктирная кривая представляет изменяющуюся амплитуду колебаний в волновом пакете, основная частота которых < w >. Энергия такого волнового пакета сосредоточена в сравнительно небольшом интервале частот. Поэтому волновые пакеты называются также импульсами. Мы будем использовать оба эти названия в зависимости от обстоятельств. Максимальная амплитуда образуется в точке T = 0, когда все колебания складываются в одинаковой фазе. Через промежуток времени T, определяемый условием
|
|
|
(12)
Амплитуда колебаний обращается в нуль. Это время принимается за меру длительности центрального импульса. Поэтому между частотным интервалом слагаемых колебаний Dw = 2pDn и временной продолжительностью импульса существует соотношение
(13)
Где использован знак приблизительного равенства, что учитывает произвольность в определении продолжительности импульса. Такое соотношение уже было получено при анализе спектрального состава прямоугольного импульса. Ввиду универсальности соотношения (13) его часто называют теоремой о ширине частотной полосы.
