Определение необходимого числа измерений

При планировании эксперимента необходимо помнить, что каждое измерение – это затраты времени и ресурсов (трудовых, материальных, финансовых). В определении числа измерений надо учитывать следующие аспекты:

1. Возможность пренебрежения коэффициентом Стьюдента в вычислении погрешностей измерений. Согласно данным таблицы 2, это можно сделать при более чем 7–10 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,68 (который используется по умолчанию) и при более чем 15–20 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,95.

2. Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как лучайную, так и приборную погрешности. Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением количества измерений как а приборная остается постоянной, целесообразно сделать столько измерений, чтобы

т.е. чтобы случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с приборной погрешностью θ.

Поскольку можно установить, что мы можем пренебречь первым слагаемым, если (часто полагают 2 = k), для чего необхо димо провести N измерений. Пусть уже проведено n измере-

ний, и получена погрешность измерений n σ (число измерений таково, что мы пренебрегли коэффициентом Стьюдента). Погрешность отдельного измерения можно оценить как

Поскольку

Для минимизации числа измерений используется последовательный анализ, т.е. такой способ статистической проверки гипотез, при котором необходимое число наблюдений

не фиксируется заранее, а определяется в процессе самой проверки. Во многих случаях для получения столь же обоснованных выводов применение надлежащим образом подобранного способа последовательного анализа позволяет ограничиться значительно меньшим числом наблюдений (в среднем, т.к. число наблюдений при последовательном анализе есть величина случайная), чем при способах, в которых число наблюдений фиксировано заранее.

Пусть задача состоит в выборе между гипотезами H 1 и H 2 по результатам независимых наблюдений. Гипотеза H 1 заключается в том, что случайная величина Х имеет распределение вероятностей с плотностью f 1(x), гипотеза H2 — в том, что Х имеет плотность f 2(x). Для решения этой задачи поступают следующим образом. Выбирают два числа А и В

(0 < A < B). После первого наблюдения вычисляют отноше ние λ1 = f 2(x 1) /f 1(x 1), где x 1 — результат первого наблюдения. Если λ1 < A, принимают гипотезу H 1; если λ1 > B, принимают

H 2, если A. ≤ λ1 ≤. B, производят второе наблюдение и так же исследуют величину

где x 2 — результат второго наблюдения, и т.д. С вероятностью, равной единице, процесс оканчивается либо выбором H₁, либо выбором H 2. Величины А и В определяются из условия, чтобы вероятности ошибок первого и второго рода (т. е. вероятность отвергнуть гипотезу H 1, когда она верна, и вероятность принять H1, когда верна H 2) имели заданные значения α1 и α2. Более подробную информацию можно найти в учебниках по математической статистике.