В этом случае используются сферические координаты: радиус-вектор r и угловые координаты j и q (см.рис.). Чтобы представить сложность решения, мы приведем вид оператора Лапласа в сферических координатах:
радиальная часть оператора |
В общем случае пси-функция зависит от трех координат: Y = Y (r, q, j). При использовании сферических координат пси-функцию можно представить в виде трех сомножителей, каждый из которых зависит только от одной координаты:
Если подставить Y в уравнение Шрёдингера, то получим три уравнения для
R, Q и F, т.е. разделим переменные. Нижние индексы показывают, какие квантовые числа (см. дальше) появляются в решениях для этих функций.
Мы будем рассматривать только радиальную часть оператора Лапласа, иначе говоря, случай, когда атом водорода находится в основном состоянии. Функция R называется радиальной частью пси-функции.
Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в основном состоянии | |||
Решение уравнения | потенциальная энергия электрона в атоме водорода (U ¥ = 0) | ||
При решении нам нужно определить: полную энергию Е электрона и неизвестные величины С и а. Найдем производные R¢ и R ², подставим их и R в уравнение Шрёдингера.
|
|
(·) |
После сокращений получим уравнение (·), в котором 2-й и 4-й члены содержат r, а два других - нет. Т.к. это уравнение должно выполняться при любых r, в том числе при r = 0, то из (·) мы получим два уравнения, из которых найдем а и Е.
Мы получили выражение, которое точно совпадает с 1-ым боровским радиусом | ||
Это выражение совпадает с выражением для энергии электрона на первой боровской орбите. |
Коэффициент С найдем из условия нормировки.
Элементарный объем dV в сферически симметричном случае – это сферический слой толщиной dr, объем слоя (на рис.- заштрихован) | |||
В математике такой интеграл известен, x=r, n=2, b=2/a | |||
В результате получим:
Введем понятие радиальной плотности вероятности. Плотность вероятности в нашем случае – это ç R ç2 – по определению равна
где dP вероятность обнаружить электрон в элементарном объеме dV. | ||
r называется радиальная плотность вероятности -по смыслу – это вероятность обнаружить электрон в сферическом слое единичной толщины |
Из рисунка видно, что максимальная вероятность обнаружить электрон при наименьшей его энергии совпадает с 1-ым боровским радиусом а. Энергия электрона в атоме водорода квантуется, выражение для нее получается такое же, как в теории Бора, но из приведенного выше решения это не следует, т.к. мы рассматривали только основное состояние.
КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
|
|
При решении уравнения Шрёдингера автоматически (т.е. без каких либо искусственных предположений) появляются целые числа, которые называются квантовыми числами. Таких чисел три: n, l и m. Впоследствии из релятивистского уравнения Дирака следовало и четвертое квантовое число ms. Каждое из квантовых чисел входит в выражение какой-либо физической величины и свидетельствует о том, что данная величина квантуется, т.е. может принимать дискретные значения. Состояние электрона в квантовой системе полностью
описывается с помощью 4-х квантовых чисел: n, l, m, ms.
1) n = 1, 2, 3, …, ¥ главное квантовое число | входит в выражение для энергии электрона [xvi] Для основного состояния атома Н (n = 1) – см. ранее. |
2) l = 0, 1, 2, …, (n - 1) - орбитальное квантовое число, Входит в выражения для орбитальных механического Lорб и магнитного pорб моментов электрона в атоме. Показывает, что орбитальные моменты квантуются, т.е. могут принимать только дискретные значения. | |
Отношение орбитальных магнитного и механического моментов Как векторы они направлены противоположно | |
механический орбитальный момент (момент импульса) | |
магнитный орбитальный момент m e – масса электрона |
магнетон Бора; (магнитные моменты принято выражать в магнетонах Бора) |
3) m = - l, …, -1, 0, +1, …, +l - магнитное квантовое число Входит в выражение для проекций орбитальных моментов на направление Z внешнего поля (например, магнитного). Показывает, что плоскость, в которой движется электрон во внешнем поле ориентируется только определенным образом, так чтобы проекция момента была кратна – см.рис. | |
4) ms - магнитное собственное квантовое число; Входит в выражение для проекций собственного механического Lсобст и магнитного рсобст моментов на направление Z внешнего поля (например, магнитного). Показывает, что ориентация Lсобст (спина –см. дальше) может иметь только два значения. | ||
отношение собственных магнитного и механического моментов |
Спин (от англ. spin - веретено). Спином называется собственный механический момент (момент импульса) электрона , связанный с некоторым движением («вращением») электрона вокруг собственной оси (см.рис.) | |||
Спин - собственный механический момент (момент импульса) электрона –имеет только одно значение.Спин связан со спиновым квантовым числом s, имеющим также только одно значение ½. | |||
спиновое квантовое число | |||
В квантовой механике различают частицы с «целым» спином (бозоны) и «полуцелым» спином (фермионы, например, электрон, см. дальше).Это условная терминология. Из формулы для спина видно, что он не может быть целым числом. В этих словах подразумевается, что проекция спина либо кратна , либо кратна половине . | |||
Таким образом, из квантовой механики следует, что энергия электрона, его орбитальные моменты, проекции орбитальных моментов на внешнее поле - квантуются. Они не могут иметь любые значения, а только те, которые определяются приведенными выше соотношениями. Собственный момент электрона имеет только одно значение, а его проекция на внешнее поле – два значения ± / 2. Часто условно говорят «спин вверх», «спин вниз».
Чтобы представить сложность поведения электрона даже в простейшем атоме Н, на рисунке представлена плотность вероятности для электрона в состоянии с n = 4, l = 2, m = ± 1. Светлые пятна - это области, в которых наиболее вероятно пребывание электрона. Это только плоский срез, в действительности вероятность имеет объемное распределение.