Решение дифференциальных уравнений с частными производными
Дифференциальное уравнение с частными производными - это дифференциальное уравнение, содержащее несколько независимых переменных.
Порядок дифференциального уравнения с частными производными – наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение.
Решением является функция, зависящая от нескольких аргументов.
Практическое применение такие уравнения нашли, например, при решении задач механики сплошных сред, в которых в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и так далее. Аргументами этих функций являются координаты рассматриваемой точки в пространстве, а также время.
Математическая постановка задачи наряду с дифференциальным уравнением содержит также и некоторые дополнительные условия.
Если решение отыскивается в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми.
|
|
Если одной из независимых переменных является время t, то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент времени t0, называемые начальными условиями. Такие задачи называются задачами Коши. При этом задача решается в неограниченном пространстве, так как граничные условия не задаются.
Задачи, при формулировке которых ставятся и начальные и граничные условия, называются нестационарными ( или смешанными) краевыми задачами. Решения таких задач меняются с течением времени.
Рассмотрим виды дифференциальных уравнений с частными производными на примере дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, линейного относительно производных, и двумя независимыми переменными x и y, общий вид которого
(9.1),
- где - искомая функция,
- коэффициенты a, b, c, d, e, f, g, вообще говоря, могут зависеть от переменных х, у и искомой функции .
В связи с этим уравнение (9.1) может быть
1) с постоянными коэффициентами;
2) линейным, если функция g линейно зависит от U, а коэффициенты a, b, c, d, e, f зависят только от х, у;
3) квазилинейным, если коэффициенты a, b, c, d, e, f, g зависят от U.
В зависимости от соотношения коэффициентов уравнение (9.1) может быть:
1) уравнением первого порядка, которое называют уравнением переноса, если
a=b=c=f=0, d≠0, e≠0
(9.2)
Если в этом уравнении вместо х или у выступает время t, то тогда его называют эволюционным уравнением.
2) уравнением второго порядка, если хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от 0. В зависимости от знака дискриминанта оно может принадлежать к одному из трех типов
- гиперболическому ()
|
|
- волновое уравнение (9.3)
- параболическому ()
- уравнение теплопроводности или диффузии (9.4).
- эллиптическому ()
уравнение Лапласа (9.5).
Если в уравнении Лапласа правая часть отлична от 0, то оно называется уравнением Пуассона.
Приведенные уравнения называются уравнениями математической физики.