Семестр - аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ

Для студентов заочной формы обучения по специальностям экономика и менеджмент.

семестр - аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Тема 1. Декартова прямоугольная система координат

2. На оси ординат найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (-3;-2) и (2; 8).

3. По данным вершинам треугольника А (-9; 1), В (5; 0) и С(-5;-7) определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины В, и высоты, опущенной из вершины А.

Отв. 1/4 и –10/7.

4. По координатам трех вершин ромба А (1; 4), В (-3; 1) и С (4; 0) определить координаты четвертой вершины.

Отв. (0; -3).

Тема 2. Прямая линия

1. Написать уравнения перпендикуляров к прямой 3x+5у—15=0, проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.

2. Определить свободный член в уравнении прямой 5х+4у+С=0, если известно, что эта прямая проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями 4x+5у+ll=0 и 5х+у— 2=0.

3. По уравнениям сторон треугольника 2х — 3у+10=0, х+у=0 и 4х—у=0 найти координаты точки пересечения его медиан.

4. Построить область, соответствующую системе неравенств

х+ у-3 ≤ 0,

3х+2у-6 ≥ 0,

2х-у-4 ≤ 0.

Тема 3. Кривые второго порядка

1. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой у=4х с параболой у=3+2х-х².

2. Составить уравнение осей симметрии равносторонней гиперболы, заданной уравнением у=(2х+7) / (х-1).

3. Представить геометрически область, определяемую системой неравенств

а) у≤10+3х—х², б) у≤10+3х— х²,

х≥0, х≤0,

у≥0; у≥0.

Тема 4. Элементы линейной алгебры

1. Вычислить определитель:

2. Найти обратную матрицу :

3. Перемножить матрицы:

4. Решить матричным методом и методом Крамера:

5. Решить методом Гаусса систему уравнений

х₁+3х₂-х₃=19,

2х₁+7х₂+4х₃=30,

3х₁-х₂+6х₃=-1.

Тема 5. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

1. Какой угол составляют между собой два вектора а₁=i+j-4k и а₂=i-2j+2k?

2. Найти площадь параллелограмма, заданного векторами r₁=i—3j+k и r₂=2i-j+3k.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 1; 1) и (0;1;-1) перпендикулярно плоскости х+у+z=0.

Тема 6. Функциональная зависимость

1. Дано f(х)=(3х²-1) / (х+3), найти f(1).

2. На предприятии действует прогрессивно-премиальная оплата труда, определяющая месячный заработок в процентах к установленной ставке в зависимости от процента выполнения плана на следующих условиях:

Доля выполнения плана (х)	Ниже 1	1,0	Свыше 1, но не более 1,03	Свыше 1,03, но не более 1,05	Свыше 1,05, но не более 1,1	Свыше 1,1
Выплата в до-	0,9	1,0	1,05	1,1	1,15	1,2
лях ставки (у)

Представить в аналитическом виде соответствие между х и у, выражая значения у через ставку а.

3. Пользуясь методом сдвигов и растяжений (сжатий) построить график функции у=2х²-12х+14.

Тема 7. Пределы и непрерывность

1. Найти предел отношения x/lnx при х →0.

2 Найти lim (1+аⁿ)/(1+aⁿ⁺¹).

n→∞

3. Найти предел отношения (√(1+х) - √(1-х))/(³√(1+х) - ³√(1-х)) при х →0.

4. Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х²-1).

Тема 8. Производная и дифференциал

1. Найти производные следующих функций:

а) у=3/х; б) у=5/(4-х); в) у=1/(х²-9) и указать, при каких значениях х эти функции не имеют производной.

2. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у=5—3х² в точке

с абсциссой х =-2.

3. Найти производную функции:

а) у=(4х²-1)ln(2х+1), б) у=х²е^-2х, в) у=(х²+2)sin2x+xcos2x, г). у=1-2х³, д) y=arcsin((x-2)/3),

е) y=(e^x-1)/(e^x+1), ж) y=e^xlnx.

Тема 9. Приложения производной

1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением у=х/(х²+1) в точке с абсциссой х= – 1.

2. Исследовать на возрастание, убывание и на экстремумы функцию у=2х²— 8.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Установить размеры катетов, при которых треугольник будет иметь наибольшую площадь.

4. Выполнить исследование и построить графики функцию у=3х²/(х²+1).

Тема 10. Неопределенный интеграл

Вычислить интегралы:

1. ∫(dx/(x²+9x-36).

2. ∫x√(3-5x) dx.

3. ∫x lnx dx.

4. ∫(4-3x)e^-2x dx.

5. ∫(x²-5x+8)sin2x dx.

6. ∫2dx/x².

7. ∫dx/sin²xcos²x.

8. ∫(x²+2x-1)/((x-3)²(x+1)) dx.

Тема 11. Определенный интеграл

1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями у=х² и у=8—х².

2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между гиперболой у =(3х+4)/(х-2), прямыми х=3 и х=5 и осью Ох.

3. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры, заключенной между кривой у=2х—х² и осью Ох.