Тема 12.2. ЗДР 1-го порядку в несиметричній та симетричній формах: з відокремленими та з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні та Бернуллі. ЗДР у повних диференціалах. Задача Коші.
ВПРАВИ.
1. Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку.
а) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане рівняння- рівняння з відокремлюваними змінними.
Відокремлення змінних: змінні відокремлені.
Інтегрування: - загальний розв’язок, с- довільна стала.
Спрощення: де
Відповідь:
б) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане рівняння однорідне. Дійсно, після приведення його до вигляду праворуч однорідна функція степені нуль:
Введення нової невідомої функції z(x): - це рівняння з відокремлюваними змінними.
це рівняння еквівалентне вихідному при , , - це загальний розвязок.
Перевірка можливих загублених через використані обмеження розв’язків: z=0, y=0 - точки (х;0) не входять в область означення рівняння; z=e, y=xe - підстановка у вихідне рівняння дає тотожність хе=хе, це означає, що у=хе - додатковий розв’язок.
Розв’язок рівняння: .
Можна об’єднати обидві функції: - це відповідь.
в) Знайти частинний розв’язок рівняння з початковою умовою у(1)=4.
Розв’язання. Дане рівняння-однорідне в симетричній формі. Дійсно функції М(х,у)= , N(x,y)= - x однорідні однакової (першої) степені, рівняння приводиться до вигляду
Введення нової змінної z: y=xz, dy=zdx+xdz.
Підстановка в диф. рівняння: (z- dx - (zdx+xdz)=0, -
Відокремлення змінних:
Інтегрування: -загальний розвязок при
Із початкових умов:
Частинний розв’язок:
г) Знайти розв’язок задачі Коши
Розв’язання. Дане рівняння- це рівняння Бернуллі. Розв’язується методом Бернуллі. Невідому функцію шукають у вигляді тоді
Підстановка в диф. рівняння: . Добирають так, щоб , ,
Знаходять u: , , .
- загальний розв’язок.
Із початкової умови
Частинний розв’язок:
д) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане диф. рівняння лінійне відносно функції х=х(у). Дійсно, воно зводиться до рівняння в несиметричній формі .
Розв’язання методом Бернуллі: , , , ,
.
. Відповідь .
є) Знайти загальний розв’язок:
Розв’язання. Дане рівняння–це рівняння у повних диференціалах: воно задовольняє необхідній і достатній умові таких рівнянь ,
Інтеграл рівняння у повних диференціалах (тобто функція u(x;y) така, що du(x;y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy) шукають за допомогою криволінійного інтеграла:
або
де (х0,у0)- деяка початкова точка, шлях інтегрування – ломана, яка складається з відрізків паралельних координатним вісям і не включає точок, в яких M=N=0. Нехай х0=0, у0=1, тоді
Загальний розв’язок представляється у вигляді загального інтеграла
u(x,y)=c: