2015-08-21
1033
Определение 9.1. Линейное пространство V называется евклидовым, если каждой паре векторов x, y из V поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1°. (x, y) = (y, x), 
x, y 
V.
2°. (x + y, z) = (x, z) + (y, z), x, y, z V.
3°. (
x, y) = (x, y), x, y V, 
R.
4°. (x, x) 
, x V; (x, x) = 0 
x = 0.
В дальнейшем, если не оговорено особо, будут рассматриваться евклидовы пространства конечной размерности n.
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим пространство R 3 свободных векторов, в котором скалярное произведение двух векторов x и y определяется, как в §2.4. Оно удовлетворяет аксиомам 1°–4°. Поэтому R 3 – евклидово пространство.·
Пример 2. Пусть е l, е 2,..., е n – базис линейного пространства V. Для любых векторов x и y этого пространства, заданных разложениями вида (8.7)
x = x 1 е l + x 2 е 2 +... + x n е n = (x 1, x 2,…, xn),
y = y 1 е l + y 2 е 2 +... + y n е n = (y 1, y 2,…, yn),
введем скалярное произведение по формуле
(x, y) = 
. (9.1)
В частности, в линейном пространстве R n формула (9.1) также определяет скалярное произведение, превращая его тем самым в евклидово пространство R n.
|
|
|
Проверка справедливости аксиом 1°–4° не представляет труда. Следовательно, линейное пространство V, а значит, и R n со скалярным произведением, заданным формулой (9.1), является евклидовым.·
Из аксиом 2° и 3° скалярного произведения следует, что если y = 
y 1 + + 
y 2 +... + 
y n, где , ,..., – числа из R, а y 1, y 2,…, y n – векторы из V, то
(x, y) = (x, y 1 + y 2 +... + y n) = (x, y 1) + (x, y 2) +… + (x, y n) = 
(x, y i).
