Большая группа методов приближенного решения дифференциальных
уравнений базируется на математической формулировке, связанной с
интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок [4, 12, 13].
Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:
, , (2.1.1)
, . (2.1.2)
Здесь L −дифференциальный оператор; xi − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u0 – точное решение.
Будем считать, что некоторая функция u также является решением уравнения, и оно может быть аппроксимировано набором функций :
, (2.1.3)
при этом коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.
В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения :
|
|
. (2.1.4)
В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов .
На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).
В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций , количество которых равно числу неизвестных коэффициентов . В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов :
. (2.1.5)
В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции , а затем минимизируют ее в среднем:
. (2.1.6)
В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:
. (2.1.7)
Для этого должно выполняться условие:
, (2.1.8)
приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке :
. (2.1.9)
Если − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов .
Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере [4]. Дано уравнение на промежутке :
,
с граничными условиями: , .
Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:
|
|
,
удовлетворяющей граничным условиям (2.1.2) при любых . На первом этапе находим невязку:
.
Выполним процедуру второго этапа:
, .
Интегрирование приведет к системе двух уравнений:
,
решением которых будут следующие значения : ; . Приближенное решение имеет вид: .
Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением дано в таблице 1.
Таблица 1
x | u приближенное | u точное | ||
метод кол- локаций | метод Ритца | метод Галеркина | ||
0,25 | 0,045 | 0,043 | 0,0440 | 0,044014 |
0,50 | 0,071 | 0,068 | 0,0698 | 0,069747 |
0,75 | 0,062 | 0,059 | 0,0600 | 0,060056 |
Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея-Ритца.