Важливою задачею статистичної обробки результатів моделювання є задача точності отримання оцінок.
Для оцінки значення деякого параметра а за результатами моделювання Хі слід брати величину , яка є функцією від усіх значень Хі. Оскільки статистична оцінка також є випадковою величиною, то вона буде відрізнятися від а, тобто
,
де e – точність оцінки. Позначимо через а ймовірність того, що дана нерівність виконується
. (2.33)
Вираз (2.33) використовується для визначення точності результатів статистичних випробовувань.
Нехай метою моделювання є оцінювання ймовірності настання деякої події А. Настання події А у кожній з N реалізацій моделі є випадковою величиною x. Вона набуває значення Х 1 = 1 з ймовірністю р і Х 2 = 0 з ймовірністю 1 –р. Математичне сподівання і дисперсію величини x визначаємо за формулами:
; (2.34)
. (2.35)
Для отримання оцінки р як частості настання події А за умови задання N реалізацій достатньо накопичувати величину m
, (2.36)
де Хі – настання події А в і -тій реалізації. Тоді вибіркове математичне сподівання і дисперсію визначаємо за формулами (2.34) – (2.36). Отримаємо
.
Згідно з центральною граничною теоремою випадкова величина m / N має розподіл, який є близьким до нормального [4, 12].
Тому з таблиці нормального розподілу для кожного рівня достовірності знаходимо таку величину ta, для якої точність обчислюватиметься за формулою
(2.37)
Враховуючи у (2.37) значення дисперсії, отримаємо
. (2.38)
Якщо р = 1 або р = 0, то N = 1. Але оскільки ймовірність р є заздалегідь невідомою, то для визначення остаточної кількості реалізації проводять випробовування (N =50…100), оцінюють частість m / N і знайдену величину підставляють у формулу (2.38) замість р.
Визначення кількості реалізації для оцінки середнього значення випадкової величини здійснюється за таким алгоритмом. Нехай випадкова величина в і -й реалізації набуває значення Хі. Вона має математичне сподівання m і дисперсію s 2. За оцінку математичного сподівання m використовуємо середнє арифметичне
.
Згідно з центральною граничною теоремою для великих значень N середнє арифметичне буде мати нормальний розподіл з математичним сподіванням m і дисперсією . Отже, похибка оцінки визначається за формулою
.
Звідси знаходимо кількість реалізації
. (2.39)
Оскільки дисперсія s2 випадкової величини є невідомою, потрібно провести 50…100 випробовувань і знайти оцінку s2. Отримане значення підставляємо у (2.39) для визначення необхідної кількості реалізації N.
Контрольні запитання та завдання
1. Розкрийте суть методу статистичних випробувань.
2. Охарактеризуйте генератори випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі (0, 1).
3. Наведіть алгоритми конгруентних методів генерування випадкових чисел.
4. Змоделюйте настання деякої елементарної події А, ймовірність появи якої в одному випробуванні дорівнює Р (А) = 0,4. Вважаємо що умови проведення кожного випробування одинакові і його можна повторити нескінченну кількість разів.
5. Змоделюйте настання групи несумісних подій А 1, А 2,..., А 5, якщо відомі ймовірності їх настання Р (А 1) = 0,3, Р (А 2) = 0,2, Р (А 3) = 0,1, Р (А 4) = 0,15, Р (А 5) = 0,25.
6. Змоделюйте настання складної (сумісної) події, що складається з двох залежних подій A і В з імовірностями Р (А) = 0,6; Р (B/Ā)=0,7.
7. Змоделюйте настання дискретної випадкової величини, яка приймає значення х 1, х 2,..., х 10 з однаковою імовірністю Р = 0,1.
8. В чому полягає суть методу оберненої функції для моделювання випадкової величини Х, яка має функцію щільності f (x) і монотонно зростаючу функцію розподілу F (x)?
9. В чому полягає суть методу кусково-лінійної апроксимації для моделювання випадкової величини Х, яка має функцію щільності f (x)і монотонно зростаючу функцію розподілу F (x)?
10. Змоделюйте неперервну випадкову величину, яка має рівномірний розподіл в інтервалі [2,8].
11. Змоделюйте неперервну випадкову величину, яка має експоненціальний розподіл з параметром λ = 0,9.
12. Опишіть послідовність моделювання неперервного випадкового вектора?
13. Змоделюйте N = 15 реалізацій нормального випадкового вектора з математичним сподіванням = (5, –2, 0) та кореляційною матрицею
14. В чому полягає специфіка моделювання випадкових функцій?
15. Опишіть послідовність моделювання дискретних систем?
16. Спеціалізована операційна система приймає на обробку три класи завдань А, В і С з різним необхідним обсягом оперативної пам'яті. Імовірності появи завдань Р (А) = 0.5; Р (В) = 0.3; Р (С) = 0.2. В момент надходження завдання система може знаходитися в одному з двох станів: z 1 – має вільні ресурси і може прийняти додаткові завдання; z 2 – монополізована попередніми завданнями. Матриці перехідних імовірностей системи такі:
Вихідний сигнал – це стан системи в момент надходження чергового завдання. Змоделюйте роботу ОС при надходженні k = 20 завдань, якщо функціонування системи починається за відсутності завдань.
“Помилятися людині властиво, але
кінцево може запутати лише комп’ютер”
(п’ятий закон ненадійності)