Статические моменты площади. Центр тяжести площади

Лекция. Геометрические характеристики плоских сечений.

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивление материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материалов и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений бруса, определяющие сопротивление различным видам деформаций.

Статические моменты площади. Центр тяжести площади.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями и (рис. 2.1). Выделим элемент площади с координатами , . По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражения и для момента площади, которое называется моментом площади. Так, произведение элемента площади на расстояние от оси .

(2.1)

называется статическим моментом элемента площади относительно оси .

Рис. 2.1

Аналогично:

(2.2)

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей и :

; (2.3)

Пусть , - координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие выражения:

(2.4)

где - площадь фигуры. Очевидно, что статические моменты площади относительно осей проходящих через центр тяжести (центральных осей) равны нулю.

Координаты центра тяжести:

. (2.5)

В качестве примера вычислим статический момент треугольника (рис. 2.2) относительно оси, проходящей через основание. На расстоянии от нее выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси . Площадь полоски

.

Учитывая, что

,

имеем

.

Рис. 2.2

Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой (2.4).

Учитывая, что

; ,

статический момент

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части (рис. 2.3), для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести и . Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

Рис. 2.3

(2.6)

По формулам (2.5) и (2.6) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:

; (2.7)