Рассмотрим дискретную случайную величину, заданную рядом распределения . Оценим вероятность того, что отклонение случайной величины X от M(X) по абсолютной величине не превосходит .
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем 1 - D(Х)/ :
P (| X— М (X) | < ) 1 — D (Х)/ .
Так как события, состоящие в осуществлении неравенств и , противоположны, то сумма их вероятностей равна единице
.
Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности .
Напишем выражение дисперсии случайной величины X:
.
Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
где