Отчёт по лабораторной работе

Московский Авиационный Институт

(Национальный Исследовательский Университет)

Отчёт по лабораторной работе

по курсу «Теория и системы автоматизированного управления»

Выполнили: Федотов В.Л.

Лабызнов К.В.

Силевич Е.А.

Группа 03-311

Принял: Заведеев А.И.

Москва, 2012 г.

Краткая теория по курсу:

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:

Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями.

Можно выделить следующие звенья:

1. Усилительное (безинерционное).

2. Дифференцирующее.

3. Форсирующее звено 1-го порядка.

4. Форсирующее звено 2-го порядка.

5. Интегрирующее.

6. Апериодическое (инерционное).

7. Колебательное.

Усилительное звено. Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией:

При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его функция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

t

t

h(t)

k.1(t)

k(t)

k.d(t)

а) б)

Рис. 1

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

.

+j

k +

АФХ

АЧХ

ФЧХ

k

0

w0w

w0w

j(w)

A(w)

h(t)

Рис. 2

Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

L(w)

w

k<1

k>1

k=1

ЛАЧХ

Рис. 3

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией:

где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:

Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:

-k/2

-p/4

-p/2

k/2 k +

ФЧХ

0

w0w

j(w)

wc=1/T

+j

АФХ

wc = 1/T

k k Ö2

АЧХ

w0w

A(w)

wc =1/T

h(t)

а) б) в)

Рис. 7

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

При

+20 -20

w

ЛАЧХ

L(w)

-20 дБ/дек

wс

0.1 1 10 100

Рис. 8

Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией:

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:

0 t а)

h(t)

1/Т

1/T

k(t)

0 t 6)

Рис. 12

Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:

w=¥

+j

+

АФХ

0 w

-p/2

АЧХ

A(w)

0 w

ФЧХ

j(w)

h(t)

Рис. 13

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:

w

ЛАЧХ

L(w)

-20 дБ/дек

wс

+20

-20

0.1 1 10 100

Рис. 14

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией:

При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид

k(t)= Td(t)

0 t б)

h(t)=Td(t)

0 t а)

Рис. 16

Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:

+

АЧХ

w0w

A(w)

Tw0w

ФЧХ

0

w0w

j(w)

p/2

+j

АФХ

w=¥

а) б) б)

Рис. 17

Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:

w

ЛАЧХ

L(w)

20 дБ/дек

wс

+20

-20

0.1 1 10 100

Рис. 18

Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией:

где x – демпфирование (0 £ x £ 1).

Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:

а) б)

Рис. 21

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений x имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением

Частотные характеристики колебательного звена имеют вид

w=¥

K(jw)

+j

k +

АФХ

ФЧХ

0

w0w

j(w)

-p

wc=1/T

-p/2

АЧХ

w0w

A(w)

k

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:

При k = 1

w

ЛАЧХ

L(w)

-40 дБ/дек

wс

+20

-20

0.1 1 10 100

+40

-40

Рис. 23

Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:

или передаточной функцией

где k – коэффициент передачи звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

A(w)

+

АЧХ

w0w

ФЧХ

0

w0w

j(w)

p/2 p/4

w = wс

+j

АФХ

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:

+20 -20

w

ЛАЧХ

L(w)

+20 дБ/дек

wс

0.1 1 10 100

Рис. 28

Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:

(15)

Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:

Рис. 29

w

L(w)

+40 дБ/дек

wс

+40 +20 -20 -40

0.1 1 10 100

Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:

(16)

(17)

где t – время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:

k(t)

h(t)

Рис. 30

Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:

+

w0w

АЧХ

w0w

A(w)

АФХ

+j

+

K(jw)

ФЧХ

0

j(w)

а) б) в)

Рис. 31