Теория метода

Явления переноса – это процессы установления равновесия в системе путем переноса массы (диффузия), энергии (теплопроводность) и импульса молекул (внутреннее трение, или вязкость). Все эти явления обусловлены тепловым движением молекул.

При явлении вязкости наблюдается перенос импульса от молекул из слоев потока, которые двигаются быстрее, к более медленным. Например, в случае протекания жидкости или газа в прямолинейной цилиндрической трубе (капилляре) при малых скоростях потока течение является ламинарным, т.е. поток газа движется отдельными слоями, которые не смешиваются между собой. В этом случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую ось, совпадающую с осью трубы.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы непрерывно переходят из слоя в слой и при столкновении с другими молекулами обмениваются импульсами направленного движения. При переходе из слоя с большей скоростью направленного движения в слой с меньшей скоростью, молекулы переносят в другой слой свой импульс направленного движения. В "более быстрый" слой переходят молекулы с меньшим импульсом. В результате первый слой тормозится, а второй – ускоряется. Опыт показывает, что импульс dP, который передается от слоя к слою через поверхность S, пропорционален градиенту скорости, площади S и времени переноса dt:

.

Коэффициент пропорциональности h в этой формуле называется коэффициентом внутреннего трения или вязкостью.

В результате между слоями возникает сила внутреннего трения:

. (1.1)

Если газ – идеальный, то его вязкость определяется формулой:

.

Здесь ρ – плотность газа, l – средняя длина свободного пробега молекул, – средняя скорость теплового движения молекул, равная

,

где m – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная.

Рисунок 1. К расчёту объёмного расхода газа.

Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объём газа радиусом r и длиной l, как показано на рисунке 1.1. Обозначим давление на его торцах P ₁ и P ₂. При установившемся течении сила давления на цилиндр, равная уравновешивается силой внутреннего трения F_T, которая действует на боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:

. (1.2)

Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (1.1). Учитывая, что , и то, что скорость υ (r)уменьшается при удалении от оси трубы, т.е. , можно записать:

. (1.3)

В этом случае условие стационарности (1.2) запишется в виде:

. (1.4)

Интегрируя это равенство, получим:

,

где постоянная интегрирования C определяется граничными условиями задачи.

При r = R скорость газа должна обратиться в нуль, поскольку сила внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой газа. Тогда:

. (1.5)

Подсчитаем объемный расход газа Q т.е. объём, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r+dr ежесекундно протекает объем газа . Тогда

.

Итак,

. (1.6)

Эта формула называется формулой Пуазейля, и её можно использовать для экспериментального определения вязкости газа.

Формула Пуазейля получена в предположении ламинарного течения газа или жидкости. Однако с увеличением скорости потока движение становится турбулентным, и слои смешиваются. При турбулентном движении скорость в каждой точке меняет свое значение и направление, сохраняется только среднее значение скорости. Характер движения жидкости или газа в трубе определяется числом Рейнольдса:

. (1.7)

В гладких цилиндрических каналах переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при R_e ≈1000. Поэтому в случае использования формулы Пуазейля необходимо обеспечить выполнение условия R_e < 1000.

Кроме этого, эксперимент необходимо проводить таким образом, чтобы сжимаемостью газа можно было пренебречь. Это возможно тогда, когда перепад давлений вдоль капилляра значительно меньший самого давления. В данной установке давление газа несколько больше атмосферного (98 кПа), а перепад давлений составляет примерно 1 кПа, т.е. около 1 % от атмосферного давления.

Формула (1.6) справедлива для участка трубы, в котором установилось постоянное течение с квадратичным законом распределения скоростей (1.5) по сечению трубы. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента необходимо выполнение условия R << L, где R – радиус; L – длина капилляра.