Теоретическая часть

Лабораторная работа № 5

Определение моментов инерции тел произвольной формы

Цель работы

Определение момента инерции математического и физического маятника, а также изучение зависимости момента инерции физического маятника от распределения массы.

Теоретическая часть

Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

, (1)

где – векторная сумма моментов всех сил относительно оси вращения, – угловое ускорение тела, т.е. вторая производная по времени от угла поворота φ тела. Соотношение (1) аналогично 2 – му закону Ньютона в динамике поступательного движения и в таком виде записывается в тех случаях, когда момент инерции тела при вращении не изменяется.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения

. (2)

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции элементарных масс (материальных точек), на которые можно разбить тело:

. (3)

Имеются различные методы экспериментального определения моментов инерции. В настоящей работе определение моментов инерции тел произвольной формы производится методом колебаний. Для этих целей измеряется период колебаний Т математического и физического маятников.

Математическим маятником называется материальная точка массой m ₀, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятника

, (4)

где l – длина маятника.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

. (5)

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не совпадающей с его центром инерции, под действием силы тяжести.

Если отклонить маятник от положения равновесия на угол φ (рис. 1), то момент силы, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия равен

. (6)

В (6) l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника С, m – масса маятника, – плечо силы тяжести. Основное уравнение динамики вращательного движения (1) с учетом (6) можно записать в виде

.

При малых углах отклонения ~ φ, тогда

. (7)

Уравнение (7) можно переписать в виде

(8)

или

. (9)

Решение этого уравнения имеет вид

, (10)

где а и α – произвольные постоянные. Через ω₀² обозначена величина

ω₀² . (11)

Из уравнений (9) и (10) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника. Зная ω₀, можно рассчитать период колебания Т физического маятника:

ω₀ , . (12)

Из сопоставления формул (5) и (12) следует, что математический маятник длиной

(13)

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник. Величину называют приведенной длиной физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения О, называется центром качания физического маятника О ^/.

По теореме Штейнера момент инерции тела относительно любой оси

, (14)

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, l – расстояние между осями.

Подставим в уравнение (13) момент инерции, определяемый выражением (14):

. (15)

Из уравнения (15) видно, что приведенная длина всегда больше l, так что точка подвеса О и центр качания О ^/ лежат по разные стороны от центра инерции С. Зная период колебания Т, массу маятника m и приведенную длину, можно рассчитать момент инерции J физического маятника:

или . (16)