Однородные системы

Пусть дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными.

Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Х =0.

Теорема о решении однородной системы. Для того чтобы однородная система с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A)< n.

При m = n условие r(A)< n означает, что определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

Пример. Решить систему линейных однородных уравнений.

n=4 – число неизвестных.

1) Вычислим r(A) методом окаймляющих миноров.

Следовательно, r(A)=2.

2) выберем в качестве базисного, тогда система уравнений запишется в виде:

5 x₃+ 3 x₄=- 2 x₁+ 4 x₂

4 x₃+ 2 x₄=- 3 x₁+ 6 x₂

x₁,x₂ -свободные неизвестные, x_3,4 -связнные.

Выразим x₃,x₄ через x_1, x₂

х₃ =-2,5 x₁+ 5 x₂

х₄=- 3,5 x₁- 7 x_2.

3) Обозначим: x₁=С₁, x₂=С₂, тогда общее решение системы:

Частные решения:

(c₁= 0 ,c₂= 1 ) = (c₁= 1 ,c₂= 0 ) =

Замечание. Если однородная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет бесконечное множество решений.

Общее решение системы есть формула, которая отражает решения системы как функцию свободных неизвестных.