Понятие предела

Понятие предела является одним из важнейших рассматриваемых нами понятий, ибо смысл метода бесконечно малых, по крайней мере, в отношении его строгости, полностью зависит от понятия предела; можно даже сказать, что, в конечном счёте, "весь алгоритм исчисления бесконечно малых основан на понятии предела, ибо именно это строгое понятие служит для определения и обоснования всех понятий и формул исчисления бесконечно малых"¹. В самом деле, цель этого исчисления "сводится к вычислению пределов отношений и пределов сумм, то есть к нахождению постоянных значений, к которым сходятся отношения и суммы переменных величин, если эти величины неопределённо убывают согласно некоторой заданной формуле"². Точнее следует сказать, что из двух разделов исчисления бесконечно малых дифференциальное исчисление состоит в вычислении пределов отношений, члены которых неопределённо убывают, при этом находясь в некоторой зависимости таким образом, что само отношение всегда имеет конечное и находимое значение; а интегральное исчисление состоит в вычислении пределов сумм элементов, множество которых неопределённо возрастает, в то время как значение каждого элемента неопределённо убывает, поскольку должны быть действительны вместе оба этих условия, чтобы сама сумма всегда оставалась конечной и находимой* величиной. При этих условиях, можно в общем сказать, что пределом переменной величины является другая величина, рассматриваемая как постоянная, к которой переменная должна приближаться посредством значений, последовательно принимаемых ею в ходе своего варьирования, до тех пор, пока она не будет отличаться от постоянной величины сколь угодно мало, иными словами, до тех пор, пока разница между этими двумя величинами не будет меньше любой определимой величины. Момент, который мы особенно подчеркнём (по причинам, которые будут ясны из последующего изложения), это то, что предел в принципе является постоянной и находимой величиной; даже если это не задано в условиях задачи, всё равно предел изначально понимается как имеющий находимое значение и продолжает считаться постоянным до завершения вычислений.

Но понятие предела самого по себе это одно, а логическое обоснование "перехода к пределу" – совсем иное; Лейбниц полагал, что:

… что вообще обосновывает этот "переход к пределу", это то, что те же самые отношения, которые существуют между несколькими переменными величинами, также существуют между их постоянными пределами, когда их изменения непрерывны, ибо тогда они действительно достигают своих соответствующих пределов; это представляет собой один из вариантов изложения принципа континуальности³.

1 Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 23.

2 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, предисловие, с. 8.

* determined в данном контексте (о величинах) переводим как "находимая" или "измеримая". (прим. перев.)

3 Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 268, примечание. – Эта точка зрения явно выражена в: Justification du Calcul des inifinitésimales par celui de l'Algèbre ordinaire.

Но весь вопрос как раз и заключается в том, может ли переменная величина, которая неопределённо приближается к своему постоянному пределу и которая, следовательно, может отличаться от него сколь угодно мало, согласно самому определению предела, действительно достичь этого предела именно вследствие своей переменности, то есть может ли предел пониматься как конечный член континуального варьирования. Мы увидим, что в действительности это решение неприемлемо; но, поскольку мы вернёмся к этому вопросу позже, скажем здесь только, что само строгое понятие континуальности не позволяет рассматривать бесконечно малые величины как способные достигать нуля, ибо тогда они перестали бы быть величинами; даже сам Лейбниц считал, что они всегда должны сохранять характер истинных величин, даже если они считаются "обращающимися в нуль". Поэтому бесконечно малая разница никогда не может быть строго нулевой; соответственно, переменная, поскольку она остаётся переменной, будет всегда реально отличаться от своего предела и не сможет достичь этого предела без того, чтобы тем самым утратить свой переменный характер.

По этому поводу, если не считать одной небольшой оговорки, можно полностью принять такие соображения уже ранее цитированного математика:

Что характеризует предел, в нашем определении, это то, что переменная может приближаться к нему сколь угодно близко, но всё же никогда не может достичь его в строгом смысле; ибо, для того чтобы переменная фактически достигла его, должно быть реализовано некоторое бесконечное, что с необходимостью исключено <…>. Поэтому следует придерживаться идеи неопределённого, то есть всё большего приближения⁴.

4 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 18.

Вместо того чтобы говорить о "реализации некоторого бесконечного", что с нашей точки зрения бессмысленно, мы просто скажем, что в таком случае должна была бы быть исчерпана некоторая неопределённость, в то время как неопределённость по определению является неисчерпаемой; а также что, в то же время, возможности развёртывания, заложенные в самой этой неопределённости, позволяют получать столь близкое приближение, сколь угодно, ut error fiat minor dato (чтобы погрешность стала меньше любой заданной погрешности), по выражению Лейбница, для которого "метод является безошибочным", коль скоро может быть получен такой результат.

Отличительным признаком предела и именно тем признаком, который не позволяет переменной строго достичь его, является отличие его определения от определения переменной; а переменная, в свою очередь, при приближении к пределу сколь угодно близко никогда не может достичь его, потому что она не может перестать удовлетворять своему собственному определению, которое, как мы указали, отлично от определения предела. Непременное различие между определениями предела и переменной встречается повсеместно <…>. Тот факт, что эти два определения, будучи логически различными, при этом относятся к величинам, которые могут сколь угодно близко приближаться друг к другу⁵, объясняет то, что может на первый взгляд показаться странным, а именно невозможность при каких бы то ни было условиях совпадения двух обозначаемых этими понятиями величин, даже при уменьшении разницы вплоть до её выхода за пределы представимости⁶.

5 Было бы более корректным сказать, что одна приближается к другой, поскольку только одна из рассматриваемых величин переменна, а другая в принципе постоянна; таким образом, именно в силу самого определения предела, их сближение никоим образом не может рассматриваться как взаимное соотношение, в котором оба члена выступают как бы взаимозаменяемыми; вместе с тем, эта необоюдность подразумевает, что их разница является разницей чисто качественного порядка.

6 Там же, с. 19.

Вероятно, излишне подчёркивать, что в силу тенденции модерна сводить всё исключительно к количеству некоторые ставили в вину такому пониманию предела введение качественного различия в науку о количестве; но, если отвергать на этом основании такое понимание предела, на том же самом основании следует отвергнуть – помимо прочего – понятие подобия в геометрии, которое также является чисто качественным, поскольку оно рассматривает только форму фигур в отрыве от их размеров и, следовательно, от их собственно количественной составляющей (что мы поясняли в другой работе). В этой связи также следует заметить, что одним из основных приложений дифференциального исчисления является определение направлений касательных на каждой точке кривой, общая совокупность которых определяет саму форму кривой, и что на пространственном уровне направление и форма являются как раз элементами существенно качественного характера⁷. Кроме того, намерение просто полностью устранить понятие "предельного перехода" под видом того, что математик может обойтись фактическим переходом к пределу без каких-либо препятствий для завершения его вычислений, также не может являться удовлетворительным решением проблемы; это может быть верно, но важно следующее: при таких условиях, до какой степени можно считать эти вычисления строго обоснованными, и, даже если таким образом "метод является безошибочным", не будет ли он безошибочным просто в качестве метода приближений? Можно возразить, что только что изложенная нами концепция также делает "предельный переход" невозможным, поскольку характер предела как раз состоит в недопущении его достижения; но это верно только в некотором смысле, и только поскольку рассматриваются переменные как таковые, ибо мы не сказали, что предел недостижим никоим образом, но – и это весьма важно уяснить – что он не может быть достигнут в пределах варьирования и в качестве члена варьирования. Что поистине невозможно, так это представление о "переходе к пределу" как о результате континуального варьирования; поэтому необходимо заменить его другим понятием, что мы и произведём в дальнейшем.