Умножение и деление

При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим числом значащих (верных) цифр. Точные числа (множители) не влияют на результат подсчета цифр.

Пример: 1,5∙2500∙2= 7500≈7,5∙10³

(1,5; 2,500 – числа приближенные; 2 – число точное)

3. Правило запасной цифры

При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем рекомендуется по всем предыдущим правилам. В окончательном результате эту «запасную»цифру округляют. «Запасную» цифру обычно подчеркивают снизу или сверху.

Y. Методы оценки погрешностей прямых и косвенных измерений

Для определения величин погрешностей измерений существуют несколько методов. Рассмотрим некоторые из них:

1.Метод среднего арифметического

2. Метод подсчета цифр

3. Метод дифференцирования

1. Метод среднего арифметического

При увеличении числа измерении среднее арифметическое значение измеряемой величины стремится к действительному значению. Поэтому метод среднего арифметического целесообразно применять при наличии значительного числа однотипных повторных измерений. Метод среднего арифметического расчета погрешностей используется обычно при прямых измерениях

Для расчета средней арифметической погрешности сначала надо вычислить среднее арифметическое значение измеряемой величины а _ср по измерениям (а ₁, а ₂,, а ₁₁).

(4)

Принимается за действительное значение измеряемой величины. Затем находится абсолютная погрешность отдельного измерения.

, (5)

Средняя абсолютная погрешность а _ср определяется как среднее значение от модуля абсолютных погрешностей отдельных измерений. Ей приписывается знак ±.

(6)

за окончательное значение измеряемой величины принимается

(7)

Отношение средней абсолютной погрешности к самой измеряемой величине называется относительной погрешностью

(8)

Иногда при многократных прямых измерениях получается одинаковый результат. Это происходит или из-за малой чувствительности измерительного прибора или из-за малого числа измерений. Однако, погрешность в этом случае считать равной нулю нельзя (при измерениях погрешности равной нулю не бывает).

Погрешность в этом случае берется равной инструментальной погрешности (см.формулу (3)).

2 .Метод подсчета цифр

В ряде случаев, где погрешности измерении участь затруднительно, а строгого учета их не требуется, целесообразно применять метод подсчета цифр.

Метод подсчета цифр состоит в том, что все результаты измерений записываются согласно правильной записи приближенных чисел (см.раздел 3) и что все вычисления выполняются по правилам приближенных вычислений (см.раздел 4). Окончательная погрешность равняется половине единицы последнего верного разряда приближенного числа.

3. Метод дифференцирования

Это наиболее общий метод расчета погрешностей косвенных измерений. Он основан на том, что погрешность функции есть ни что иное, как возможной приращение функции, которое она получит, если аргументам дать приращения, равные их погрешностям. Так как необходимо найти предельную погрешность (т.е погрешность функции для случая, когда все погрешности аргументов имеют один знак), то при вычислении дифференциалов необходимо для всех произвольных брать их абсолютные значения /т.е. обязательно все со знаком плюс/. Чтобы получить формулу для относительной погрешности, используют тот факт, что дифференциал натурального логарифма равен дифференциалу выражения, стоящего под знаком логарифма, деленного на этот член.

Итак, для определения относительной погрешности нужно:

а) взять натуральный логарифм от обеих частей расчетной формулы,

б) определить полный дифференциал, для чего взять частные производные по каждой переменной и множить на дифференциал соответствующей переменной,

в) все дифференциалы заменить на соответствующие абсолютные погрешности абсолютных величин; обязательно со знаком плюс.

Так, например, если то

Контрольные вопросы

1Что значит измерить физическую величину?

2.В чем отличие косвенных и прямых измерений?

3.Что такое точность измерения?

4.Что характеризует абсолютная и относительная погрешности?

5.Как определить основную инструментальную погрешность?

6.Назовите, почему надо стремиться, чтобы измеряемая величина находилась во второй половине шкалы прибора?

7. Из чего состоит общая погрешность прямого измерения? Чему равна погрешность измерения, если средняя арифметическая равна нулю?

8.В чем состоит правильная запись числа?

9. В чем отличие правил приближенных вычислений для сложения(вычитания) от умножения (деления)?

10.Для чего вводится правило запасной цифры?

11. Назовите известные вам методы оценки погрешностей и изложите их суть.

12.Как записывается окончательное значение измеряемой величины