Понятие об основных системах счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой символам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Так, в десятичной системе используются десять цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число десять.

В позиционных системах счисления числа записываются в виде последовательности символов:

N = a_n a_n-1... a₁ a₀, a_-1 a_-2... а_{-m (р)} (1)

где N – число;

a_i – цифры (символы) числа;

p – основание системы счисления;

n, m – порядковый номер разряда для целой (n) и дробной (m) частей числа соответственно.

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Значение числа, записанного в виде (1), может быть найдено по следующей формуле:

N = a_n · pⁿ+a_n-1 · p^n-1+... +a₀ · p⁰+a_-1 · p^-1+a_-2 · p^-2+...+а_-m · p^-m. (2)

В десятичной системе счисления мы производим вычисления по формуле (2) практически не задумываясь. Возьмём для примера десятичное число 123,45:

2 1 0 -1 -2

123,45 ₍₁₀₎ = 1·10²+2·10¹+3·10⁰+4·10^-1+5·10^-2 = 100+20+3+0,4+0,05

Здесь и в дальнейшем основание системы счисления, в которой представлено число, будем указывать в виде нижнего индекса в скобках.

Помимо десятичной, в ЭВМ применяются и другие позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления.

Используется две цифры: 0 и 1. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным кодом. Примеры представления чисел в двоичной системе счисления представлены в таблице 1.