1. Приближенная формула Зибеля.
Упрощенная формула расчета усилия осадки цилиндрического образца (рис. 1) опубликована в 1934 году Э. Зибелем[2] и представлена в учебнике Сторожева М.В. и Попова Е.С.[3].
Рис. 1. Цилиндрическая заготовка до осадки и после осадки
При этом сначала определяется удельное усилие осадки
, (5)
где ss – напряжение текучести, m – коэффициент трения, Dmin < Dmid < Dmax – средний диаметр заготовки после осадки, H – высота заготовки после осадки.
Напряжение текучести можно определить по формуле (1) или (2). Например, для формулы (2), определяя интенсивность:
e i = ln(1 + D H / H 0), (6)
и с учетом вида аппроксимации кривой деформационного упрочнения находим напряжение текучести
.
Средний диаметр заготовки после осадки определяем из условия постоянства объема при пластическом деформировании
Dmid = (D 0× H 0)/ H. (7)
Далее определяем усилие осадки
P @ p ×p×(Dmid /2)2. (8)
2. Вывод формулы осадки методом анализа напряжений [4].
Предполагается, что заготовка в процессе осадки сохраняет цилиндрическую форму. Рассматривается уравнение равновесия точек осесимметричной заготовки при осадке плоскими бойками в цилиндрической системе координат (r, j, z, усилие действует вдоль оси z):
|
|
. (9)
Дополнительно используем приближенное условие пластичности
ss @ sr - sz. (10)
Предположив, что ss не является функцией r, из (10) можно получить
. (11)
Подставив (11) в (9), получим
. (12)
Так как на краю заготовки, при r = D /2 напряжение вдоль оси z равно напряжению текучести
- sz @ ss, (13)
то это соотношение можно использовать в качестве граничного условия, и решение дифференциального уравнения (12) имеет вид
. (14)
Интегрируя (14) по r от r = 0 до r = D /2 и усредняя по площади, можно получить удельное усилие в виде
. (15)
При определении усилия пресса напряжение текучести и площадь рассчитывать аналогично, как в разделе 1.
[1] Третьяков А.В., Зюзин В.И. Механические свойства металлов и сплавов при обработке давлением. М: Металлургия, 1973.
[2] Зибель Э. Обработка металлов в пластическом состоянии. М. – Л., ОНТИ, 1934
[3] Сторожев, М. В. Теория обработки металлов давлением / М. В. Сторожев, Е. А. Попов. – М.: Машиностроение, 1977
[4] Томсен, Э. Механика пластических деформаций при обработке металлов / Э. Томсен, И. Янг, Ш. Кобаяши. – М.: Машиностроение, 1969.