Существенным недостатком лимита и амплитуды как критериев вариабельности является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда.
Наиболее просто определить однородность числового ряда с учетом всех значений, составляющих этот ряд, через отклонения всех вариант от центра ряда (среднего арифметического), поскольку каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средним арифметическим. Разность между конкретной вариантой и средним арифметическим из этого ряда называется отклонением от среднего di=(Vi – M). Такие отклонения от среднего (М=10) можно представить в графической форме:
Для получения обобщающей характеристики числового ряда использовать сумму отклонений от среднего нельзя. Это связано с тем, что сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего всегда равна нулю. Можно избежать взаимной компенсации отклонений, беря квадраты отклонений, т. к. при возведении в квадрат отрицательные и положительные числа дают только положительные значения.
|
|
При усреднении всех отклонений числового ряда получается средний квадрат отклонений, который называется дисперсией — D. Алгебраическое выражение дисперсии: где n — число наблюдений, d — отклонения вариант от среднего di=(Vi – M). Во взвешенном ряду, дисперсия вычисляется по формуле:
Способы вычисления дисперсии
Простой ряд | Простой ряд | Взвешенный ряд или | ||||||
V | d | d2 | V | V2 | V | Р | VP | V2P |
–2 | ||||||||
–1 | ||||||||
M=17 | Σd=0 | Σd2=10 | ΣV2=1455 | ΣP=15 | ΣVP=258 | ΣV2P=4456 | ||
D=10/5=2 | D=1455/5–172=2 | M=258/15=17,2 | ||||||
D=4456/45–17,22=1,2 |
Упрощенные способы расчета дисперсии позволяют избежать вычислений отклонений d. В этом случае, для не сгруппированного ряда , где ΣVj2 — сумма квадратов вариант ряда, М2 — квадрат среднего арифметического, n — число наблюдений. Для сгруппированного ряда формула вычисления дисперсии упрощенным способом выглядит следующим образом:
, где ΣVj2P — сумма произведений квадратов вариант ряда на их частоту, М2 — квадрат среднего арифметического, ΣPj — число наблюдений, определяемое как сумма частот. Если в результате статистического наблюдения получены несколько групп значений признака, то для вычисления обшей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. Более того, если совокупность имеет большое число наблюдений (большой объем), то в случае «ручного» проведения вычислений целесообразно ее разбить на несколько групп. В том и другом случаях вычислением дисперсий отдельных групп можно заменить непосредственное вычисление общей дисперсии. Поскольку общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Это свойство дисперсий имеет большое теоретическое и практическое значение, являясь основой широко применяющегося в научных исследованиях дисперсионного анализа.
|
|
Формула для расчета общей дисперсии представлена выражением Dобщ=Dвнгр+Dмежгр, где:
Dобщ, — общая дисперсия, дисперсия значений признака всей совокупности относительно общего среднего;
Dвнгр — внутригрупповая дисперсия, среднее арифметическое групповых дисперсий, взвешенных по объемам групп
где n – объем всей совокупности, Nj — объем
группы j; Dj — дисперсия группы j; Dмежгр — межгрупповая дисперсия.
,где Mj — групповое среднее группы у, М — общее среднее; n — объем всей совокупности, Nj — объем группы.
Практически расчет общей дисперсии не представляет труда. Например: требуется найти общую дисперсию совокупности состоящей из двух групп. Вычисления проходят по следующим этапам.
1-й этап:
Вычисление средних в первой и второй группе
Первая группа | Вторая группа | ||||
V1 | P1 | V1P1 | V2 | P2 | V2P2 |
n1=ΣP1=13 | ΣV1P1=52 | N2=ΣP2=14 | ΣV2P2=84 | ||
M1=52/13=4 | M2=84/14=6 |
2-й этап. Вычисление общего среднего всей совокупности (обеих групп):
3-й этап: Вычисление групповых дисперсий
Первая группа | Вторая группа | ||||
V1 | P1 | V12P1 | V2 | P2 | V22P2 |
n1=ΣP1=13 | ΣV12P1=228 | n2=ΣP2=14 | ΣV22P2=540 | ||
D1=ΣV12P1/n1–M1=1.54 | D2=ΣV22P2/n2–M2=2.57 |
4-й этап. Рассчитываем внутригрупповую дисперсию, как
среднюю групповых дисперсий
5-й этап. Определяем межгрупповую дисперсию, как дисперсию групповых средних относительно общего среднего:
6-й этап. Общая дисперсия Dобщ = Dвнгр +Dмежгр = 1+2,07=3,07.