Основные понятия и формулы

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция определена и непрерывна во всех точках отрезка за исключением точки , в любой окрестности которой она неограниченна. Тогда не существует в обычном смысле, как предел интегральных сумм. В этом случае полагают

при ,

при .

Если пределы, стоящие в правых частях этих формул, существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

1. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

◄ Подынтегральная функция неограниченна в любой окрестности точки - левого конца отрезка интегрирования (). Поэтому интеграл следует понимать как несобственный:

. ►

2. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

◄ Как и в предыдущем примере, подынтегральная функция имеет особенность в точке . Запишем эту функцию в виде

Так как , то при . Согласно предыдущему примеру сходится, следовательно, по предельному признаку сравнения сходится и .►

3. Исследовать сходимость несобственного интеграла (или доказать его расходимость).

◄ Подынтегральная функция неограниченна в любой окрестности точки , лежащей внутри отрезка интегрирования (). Поэтому, интеграл является несобственным.

По определению , если конечные пределы в правой части этого равенства существуют, и расходится, если хотя бы один из этих пределов бесконечен или не существует.