Методы получения оценок параметров распределения

Для вычисления приближенных значений параметров чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Суть метода моментов заключается в следующем. Пусть имеется выборка { x 1,..., xn } независимых значений случайной величины с известным законом распределения f (x, Q 1,..., Qm) и m неизвестными параметрами Q 1,..., Qm. Последовательность вычислений следующая.

1. Вычислить значения m начальных и/или центральных теоретических моментов

. (6.12)

2. Определить m соответствующих выборочных начальных и/или центральных моментов по формулам (6.8, 6.9).

3. Составить и решить систему из m уравнений, в каждом из которых приравниваются теоретические и выборочные моменты. Каждое уравнение имеет вид или .

Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а оставшаяся часть - центральные.

Согласно методу максимального правдоподобия оценки получаются из условия максимума по параметрам Q 1,..., Qm положительной функции правдоподобия L (x 1,..., xn, Q 1,..., Qm).

Если случайная величина X - непрерывна, а значения xi ­независимы, то

(6.13)

Если случайная величина X - дискретна и принимает независимые значения xi с вероятностями

(6.14)

то функция правдоподобия равна

(6.15)

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух видах:

(6.16)

или (6.17)

Пример 6.1. Пусть xi - независимые значения случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону, т.е.

Необходимо получить оценку параметра методом максимального правдоподобия.

Решение. Функция правдоподобия имеет вид

Тогда

Далее записываем уравнение

=0.

Отсюда получаем выражение для оценки параметра:

Пример 6.2. Случайная величина X распределена по равномерному закону, т.е.

Необходимо определить оценки параметров a и b.

Решение. Составляем систему их 2-х уравнений:

Здесь

Подставив данные выражения в систему и решив ее, получим

ЗАДАЧИ

6.1. Имеется выборка объема n: x 1,..., xn из генеральной совокупности, распределенной по закону с неизвестным параметром, т.е. с плотностью (x >0). Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра.

Ответ:

6.2. Найти методом моментов по известной выборке x 1,..., xn оценку параметра Q случайной величины с плотностью .

Ответ:

6.3. Отобрано 5 телевизоров для контроля некоторых параметров. Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5; 12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра m, если напряжение - случайная величина X, распределенная по нормальному закону.

Ответ: = 12,1 В.

6.4. Отобраны случайно 200 однотипных радиостанций. Время их работы до первого отказа характеризуется таблицей

Срок службы, ч	900-1100	1100-1300	1300-1500
К-во радиостанций, i

Вычислить выборочное среднее , дисперсию , и среднее квадратическое отклонение S_* срока службы радиостанций до первого отказа.

Примечание. Если отдельные значения в ряде распределения повторяются по нескольку раз, то следует учесть частоту каждого повторения. Тогда выборочное среднее и дисперсию вычисляют по формулам

,

где xi -среднее значение X в i -том интервале;

i- количество значений, попавших в i -тый интервал;

m - количество интервалов.

Ответ: =1260 ч, =12400 ч2, =111.4 ч.

6.5. Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения если в n 1независимых опытах событие A появилось m 1раз и в n 2независимых опытах - m 2раз.

Ответ: p = (m 1 + m 2)/(n 1 + n 2).