Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения Fпр. При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и Fпр, где . Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо Fпр величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины.
Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2 a.
К телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила и в точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила . Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции и силе трения . Линия действия силы неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x ().
Рис.28
Составим три уравнения равновесия:
Согласно закону Кулона , т.е. . (1)
|
|
Так как , то (2)
Проанализируем полученные результаты:
Будем увеличивать силу .
Если f< a /h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.
Если f> a /h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины /h, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h. Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).
Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес человека – Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – , между лестницей и полом – .
Рис.29
Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу , нормальные реакции и и добавляем силы трения: и . Полагаем, что человек находится на расстоянии , при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия.
Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим
Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая a=l, получим, после преобразований, и .
Рис.30
Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом (рис.30), то нормальная реакция , а сила трения Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие . или . И так как , то . Значит угол должен быть больше угла . Следовательно, если сила действует внутри угла или конуса трения (), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения.
|
|
Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр.
Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис.31). За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными.
Рис.31 Рис.32
Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной . (рис.32). На левом конце этого участка натяжение , на правом . Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:
Так как угол - малая величина, то полагаем С учётом этого из уравнений находим и, так как , имеем или . Интегрируя, получим . Или
Этот результат называется формулой Эйлера.
Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и , а коэффициент трения f=0,2, то отношение натяжений . А, обернув цилиндр один раз (), то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела.