Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин, умноженных на косинус угла между векторами:

. (2.11)

Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:

1 ) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) или один из векторов нулевой.

Если =(x ,y ,z ), =(x ,y ,z ), то в базисе i, j, k

.

Геометрический смысл скалярного произведения заключается в следующем: длина вектора это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя ̶ .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается из конца вектора происходящим против движения часовой стрелки, иначе тройка векторов называется левой.

Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор , который удовлетворяет трем условиям:

1) тройка векторов , , – правая;

2)

3).

Если векторы коллинеарные, тогда векторное произведение векторов равно нулю.

Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:

1)

2)

3) ;

4)

5) геометрический смысл векторного произведения: , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало в точке О (рис. 7).

Рис. 7

Если , то в базисе i, j, k векторное произведение выражается через координаты данных векторов следующим образом:

. (2.12)

Смешанным произведением векторов , , называется число .

Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:

1)

2) ;

3) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: =±V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах, взятый со знаком «+» если тройка векторов , , – правая, или со знаком «-», если она левая;

4) , , компланарные векторы.

Если , то в базисе i, j, k

. (2.13)