Метод сфер-посредников. Способ вспомогательных концентрических сфер

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей нерационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей (посредников). Например, если пересекаются две поверхности вращения общего вида с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии, то никакие плоскости не могут рассекать одновременно эти поверхности по линиям, которые проецировались бы в графически простые линии.

В таких случаях целесообразно применять способ вспомогательных секущих сфер. В самом деле, сферы обладают большими преимуществами по сравнению с другими посредниками, так как на сфере можно взять бесчисленное множество окружностей и проекции сферы легко построить, что позволяет строить линию пересечения поверхностей с достаточной степенью точности.

Итак, способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии. В силу особенностей своего расположения поверхности Ф¹ и Ф² имеют общую плоскость симметрии, которая обычно является плоскостью уровня. Отсюда следует, что линия пересечения поверхностей будет симметрична относительно общей плоскости симметрии и экстремальные точки линии можно построить точно.

В основу способа концентрических сфер положена теорема.

Теорема: Две соосные* поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения очерков (главных меридианов) поверхностей (рисунок 6.22) и плоскости которых перпендикулярны общей оси.

Оси поверхностей должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций (иначе окружности будут проецироваться в виде эллипсов). Если оси поверхностей не параллельны плоскости проекций, можно применить способ замены плоскостей проекций.

Например, на рисунке 6.23 изображены поверхности вращения (коническая поверхность и поверхность закрытого тора), оси которых лежат в одной фронтальной плоскости и пересекаются в точке О.

Рисунок 6.22	Рисунок 6.23

Если в качестве посредников использовать горизонтальные плоскости уровня (например, плоскость Г), то такие плоскости будут пересекать поверхность закрытого тора по графически простым линиям – окружностям, а в пересечении с конической поверхностью - гиперболу. Применяя в качестве посредников профильные плоскости уровня (например, плоскость ), будем получать в пересечении с конической поверхностью с поверхностью – окружности, а в пересечении с поверхностью закрытого тора – сложную кривую линию построение которых нужно производить по точкам.

Нетрудно убедиться в том, что в данном примере невозможно выбрать плоскость, которая пересекала бы обе поверхности по графически простым линиям.

Построение проекции линии пересечения конической поверхностью с поверхностью закрытого тора с помощью вспомогательных концентрических сфер приведено на рисунке 6.24.

Сначала определяются опорные точки. Так как оси вращения поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, то очерковые образующие пересекаются в точках А₂ и В₂.

Затем определены вспомогательные сферы минимального и максимального радиусов, пригодные для построении проекций точек линии пересечения. Сфера минимального радиуса должна быть вписана в одну из поверхностей и пересекать вторую. Такой сферой является сфера с радиусом О₂1₂, касающаяся очерк конической поверхности и пересекающая очерк тора в точках 3₂4₂.

Рисунок 6.24

В пересечении этих отрезков находится фронтальная проекция С₂ точки, принадлежащей линии пересечения. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от проекции О₂ до наиболее удаленной точки пересечения проекций очерковых образующих, в данном случае R_max=O₂B₂. Для нахождения промежуточных точек фронтальной проекции линии пересечения применяют сферы, радиусы которых лежат в пределах R_min<R<R_max.Так, для нахождения проекций Е₂ и D₂ точек линии пересечения использованы вспомогательные сферы радиусов О₂9₂ и О₂5₂. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения следует использовать параллели, расположенные в горизонтальных плоскостях уровня.