Задания для самостоятельной работы
1. . Найти .
2. . Найти .
3. . Найти .
4. . Можно ли данные матрицы сложить, умножить?
5. Найти линейную комбинацию матриц 2А+3В, где
. Ответ:
6. Дано . Найти произведение АВ и ВА.
Ответ: ; ВА – не существует.
7. Найти произведение матриц ААТ и АТА.
Ответ: , .
8. Вычислить определители данных матриц.
а) б)
в) г)
9. Вычислить определители:
а) б) в)
Ответ: а) -3; б) 2; в) 63.
10. № 586 - № 593, № 596, № 597. [6]
11. № 1204, № 1211- № 1216, №1252-1255. [5]
Рекомендуемая литература: [7] стр. 16-22, [4] стр. 60-64.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Тема: Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.
Краткие сведения из теории и примеры решения задач.
Обратная матрица
Пусть А квадратная матрица n –го порядка.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю (Δ≠0). В противном случае (Δ=0) матрица называется вырожденной.
Присоединенной матрицей к матрице А, называется матрица
, где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij данной матрицы А.
А* получается транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений Аij к элементам аij (А*=(Аij)Т).
Квадратная матрицаА-1 называется обратной по отношению к матрице А того же порядка, если выполняется условие АА-1 = А-1А = Е.
Обратная матрица определяется по формуле .
Алгоритм вычисления элементов обратной матрицы А-1 таков:
1. Вычисляем определитель матрицы А, ΔА≠0.
2. Вычисляем алгебраическое дополнение к каждому элементу матрицы А.
3. Составляем матрицу из алгебраических дополнений (Аij).
4. Транспонировав полученную матрицу, получаем присоединенную матрицу А*= (Аij) Т.
5. Все элементы матрицы А* делим на величину определителя матрицы А.
Пример. Найти матрицу, обратную заданной матрице А:
;
Вычислим алгебраические дополнения:
Составляем присоединенную матрицу и находим обратную:
; .
Проверку правильности нахождения обратной матрицы легко выполнить, учитывая, что произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу, т.е. АА-1 = А-1А = Е.
Проверка:
Замечание. Нахождение обратной матрицы второго порядка (и только второго порядка) можно выполнить следующим простым способом:
1) найти определитель исходной матрицы А;
2) в исходной матрице А поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали, изменить знаки на противоположные у элементов побочной диагонали, т.е. получить присоединенную матрицу.
3) Разделить элементы присоединенной матрицы на величину определителя.
Например, если , то и .