Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных из уравнений системы. Методом Гаусса решаются произвольные системы.

Рассмотрим для примера конкретную систему третьего порядка:

Переставим уравнения 1 и 2 (так удобнее для вычислительного процесса):

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 3 (коэффициент при х), а из третьей – первую, умноженную на 4 (также коэффициент при х в третьем уравнении), получим систему уравнений, в которой неизвестная величина х присутствует только в первом уравнении (уже отсюда ясно, для чего в первом уравнении исходной системы коэффициент при х желательно иметь равным единице – удобнее подбирать множители перед вычитанием из последующих уравнений)

.

Затем вторую строку умножим на 5 и вычтем из третьей

.

В итоге получаем систему ступенчатого типа, решение которой (начиная с последнего уравнения) не представляет труда.

Получаем:

Замечания:

1. Для удобства вычислений в качестве первого уравнения и исключаемого неизвестного удобно взять то, где коэффициент а_ij=1.

2. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицуиз коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Вычитание строк матриц равносильно вычитанию уравнений. Такая матрица обычно называется расширенной.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна система или несовместна:

- если при последовательном исключении переменных получили хотя бы одно уравнение вида 0=b, т.е. (), то система несовместна;

- если получили уравнение вида 0=0, т.е. , то система является совместной и неопределенной, т.е. имеет множество решений.

Пример: Найти все решения системы линейных уравнений

Определитель главной матрицы равен нулю . Систему решим методом Гаусса.

Очевидно, что такая система допускает множество решений.

Из второй строки имеем: .

Из первой строки: .

Получили множество решений: , z –любое действительное число. Получим несколько частных решений: z= 1, x= 1, y= 4; z =-1, x= 1, y= 2.